LeetCode 1414 和为 K 的最少斐波那契数字数目
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题目大意：
题解：
参考自LeedCode官方题解
首先找到所有不超过\(k\)的斐波那契数字，然后每次贪心地选取不超过\(k\)的最大斐波那契数字，将\(k\)减去该斐波那契数字，重复该操作直到\(k\)变为\(0\)，此时选取的斐波那契数字满足和为\(k\)且数目最少。
证明：
- 当选取斐波那契数字数目最少时，不可能选取两个相邻的斐波那契数。
假设选取了两个相邻的斐波那契数字\(F_x\)和\(F_{x+1}\)，则根据斐波那契数字的定义，这两个斐波那契数字之和为后一个斐波那契数字：
因此可以用\(F_{x+2}\)代替\(F_x\)和\(F_{x+1}\)，选取的斐波那契数字的总和不变，选取的斐波那契数字的数目减少\(1\)个，比选取\(F_x\)和\(F_{x+1}\)的方案更优。
- 一定存在一种选取斐波那契数字数目最少的方案，使得选取的每个斐波那契数字各不相同。
假设\(F_x\)被选取了两次。当\(x\leq 2\)时，\(F_x=1\)，可以用\(F_3=2\)代替两个\(F_x\)，此时选取的斐波那契数字的数目减少\(1\)个。
当\(x > 2\)时，存在以下关系：
因此当\(x>2\)时，如果\(F_x\)被选取了两次，则可以换成\(F_{x-2}\)和\(F_{x+1}\)。
- 根据上述两个结论，必须选取不超过\(k\)的最大斐波那契数字，才能使得选取的斐波那契数字满足和为\(k\)且数目最少。
用\(F_m\)表示不超过\(k\)的最大斐波那契数字。如果不选择\(F_m\)，则考虑选取的斐波那契数字之和可能的最大值，记为\(N\)。根据上述两个结论，选取的斐波那契数字中不存在相邻的斐波那契数字，也不存在重复的斐波那契数字，因此可以得到\(N\)的表达式：
当\(m\)是奇数时，\(N\)的值计算如下：
此时\(N<F_m\)，由于\(F_m\leq k\)，因此\(N<k\)。如果不选择\(F_m\)，则选取的斐波那契数字之和一定小于\(k\)，因此必须选择\(F_m\)。
当\(m\)是偶数时，\(N\)的值计算如下：
此时\(N=F_m\)，\(\frac{m}{2}\)个斐波那契数字之和等于\(F_m\)，用一个\(F_m\)替换\(\frac{m}{2}\)个斐波那契数字，选取的斐波那契数字数目不变或减少（只有当\(m=2\)时，选取的斐波那契数字数目不变）。
综上所述，无论\(m\)是奇数还是偶数，都需要选取\(F_m\)，即不超过\(k\)的最大斐波那契数字，才能使得选取的斐波那契数字满足和为\(k\)且数目最少。
class Solution {
public:
int findMinFibonacciNumbers(int k) {
vector<int> f;
f.emplace_back(1);
int a = 1, b = 1;
while (a + b <= k) {
int c = a + b;
f.emplace_back(c);
a = b;
b = c;
}
int ans = 0;
for (int i = f.size() - 1; i >= 0 && k > 0; i--) {
if (k >= f[i]) {
k -= f[i];
ans++;
}
}
return ans;
}
};
