线性基初步
理论知识
首先给出一些定义：(有线代基础的奆佬可以直接跳到下面线性基章节)
向量
向量是一个由 \(n\) 个实数组成的有序数组，是一个 \(1\times n\) 的矩阵 ( \(n\) 维行向量) 或一个 \(n\times 1\) 的矩阵 ( \(n\) 维列向量)。
如 \(A=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3&\dots&x_k\end{bmatrix}\) 是一个 \(k\) 维行向量，\(B=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_k\end{bmatrix}\) 是一个 \(k\) 维列向量。
向量的线性运算(加法，数量乘法)
加法
在所有的向量组成的集合 \(V\) 中定义加法运算：
\(\alpha,\beta \in V\)，设 \(\alpha = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\dots x_k\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}y_1&y_2&y_3\dots y_k\end{bmatrix}\)，
则 \(\alpha +\beta =\begin{bmatrix}x_1+y_1&x_2+y_2&x_3+y_3\dots x_k+y_k\end{bmatrix}\) 称为 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的和。
数量乘法(数乘)
在向量集合与实数域的元素之间定义数量乘法运算：
设 \(\alpha=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\dots x_i\end{bmatrix},k\in R\) ，
则 \(k\alpha = \begin{bmatrix}kx_1&kx_2&kx_3\dots kx_i\end{bmatrix}\) 称为 \(k\) 与 \(\alpha\) 的积。
向量组
向量组是有限个相同维数的行向量或列向量组成的集合。
一个向量集合 \(S=\{A_1,A_2,A_3\dots A_n\}\) 是向量组当且仅当 \(\forall A_i\in S\) 是 \(k\) 维行向量或 \(\forall A_i\in S\) 是 \(k\) 维列向量
等价向量组
若两个向量组之间可以互相线性表示出来，那么称这两个向量组是等价向量组
线性空间，子空间与生成子集
线性空间
向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设 \(V\) 是一个非空集合，\(P\) 是一个域。若：
-
在V中定义了一种运算，称为加法，即对 \(V\) 中任意两个元素 \(α\) 与 \(β\) 都按某一法则对应于 \(V\) 内惟一确定的一个元素 \(α+β\)，称为 \(α\) 与 \(β\) 的和。
-
在 \(P\) 与 \(V\) 的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对 \(V\) 中任意元素 \(α\) 和 \(P\) 中任意元素 \(k\)，都按某一法则对应 \(V\) 内惟一确定的一个元素 \(kα\)，称为 \(k\) 与 \(α\) 的积。
-
加法与纯量乘法满足以下条件：
- \(α+β=β+α\)，对任意\(α,β\in V\).
- \(α+(β+γ)=(α+β)+γ\)，对任意 \(α,β,γ\in V\).
- 存在一个元素 \(0\in V\) ，对一切 \(α\in V\) 有 \(α+0=α\) ，元素 \(0\) 称为 \(V\) 的零元.
- 对任一 \(α\in V\)，都存在 \(β\in V使α+β=0\)，β称为α的负元素，记为 \(-α\).
- 对P中单位元 \(1\) ，有 \(1α=α(α\in V)\).
- 对任意 \(k,l\in P,\ α\in V\) 有 \((kl)α=k(lα)\).
- 对任意 \(k,l\in P, α\in V\) 有 \((k+l)α=kα+lα\).
- 对任意 \(k\in P,\ α,β∈V\) 有 \(k(α+β)=kα+kβ\).
则称 \(V\) 为域 \(P\) 上的一个线性空间，或向量空间。\(V\) 中元素称为向量，\(V\) 的零元称为零向量，\(P\) 称为线性空间的基域。当 \(P\) 是实数域时，\(V\) 称为实线性空间；当 \(P\) 是复数域时，\(V\) 称为复线性空间。
易知，之前对向量及其运算的定义满足实线性空间的条件。
子空间与生成子集
已知一个向量组 \(S=\{A_1,A_2,A_3,A_4,\dots A_i\}\)，则集合 \(T=\{k_1A_1+k_2A_2+\dots k_iA_i\ |\ k_i\in R\}\) 为这个向量组 \(S\) 的子空间，向量组 \(S\) 是 \(T\) 的生成子集。
线性相关与线性无关，基底
线性相关与线性无关
我们称一个向量组线性相关，当其中的某个向量能被其他向量线性运算的结果表示出来；反之，若任何一个向量都无法被其他的向量线性运算表示，那么我们称这个向量组线性无关。
基底与维度
若一个向量组 \(S\) 线性无关，那么它是它的子空 \(T\) 的 基底。这个向量组中元素的个数称为 维度。
向量组的秩
极大线性无关向量组
向量组 \(S\) 中若有一部分组满足 \(A_1,A_2,\dots A_i\) 满足 \(\{A_1,A_2,\dots,A_i\}\) 线性无关，且任取 \(\beta \in S\)，有 \(\{A_1,A_2,\dots,A_i,\beta \}\) 线性相关，则称 \(A_1,A_2,\dots A_i\) 为极大线性无关向量组，简称极大无关组。
向量组的秩
一个向量组包含的极大无关组的向量个数即为向量组的秩。
求向量组的秩
我们想要求向量组的秩，就要求向量组的极大无关组。
求向量组的极大无关组一般使用高斯消元。
高斯消元有三种操作：
-
交换行
-
一行乘以一个非零常数
-
将一行的若干倍加在另一行上
在矩阵中，高斯消元做完之后会形成一个类对角线矩阵，此时我们将这个矩阵拆做数个行向量。由于每一个向量都有一个独有的位置，它下面的向量这一位都是 \(0\)。所以这些向量一定线性无关。那么这些向量构成的向量组即是一个极大无关组。这个极大无关组同时也是原向量组生成的子空间的一组基底。
一个重要性质
-
一个向量组 \(S\) 生成的子空间 \(T\) 的任意两个基底 \(B_1,B_2\) 一定等价且维数相同。
这个性质有多nb呢？
现在手上我们有 \(10^5\) 个 \(63\) 维的向量组成的向量组。由于上面的性质，我们利用高斯消元随便求出一个极大无关组，这个无关组向量数一定小于等于 \(63\) ，而这 \(63\) 个向量组成的向量组生成的子空间一定与原向量组等价的，相当于我们用 \(63\) 个向量干了 \(10^5\) 向量干的事情。
线性基
BB了那么多线性代数的知识，实际上线性基是个很简单的东西，它就是我们上文中用高斯消元在求的极大无关组。
例题：线性基
给定 \(n\) 个整数 \(S_i\)（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。
\(1\le n\le 10^5,0\le S_i\le 2^{63}-1\)
例题解析
由于异或相当于不进位加法，所以把加法定义成异或，上面的那一串东西一定还是成立。
我们可以把每一个数都看作是一个长度是 \(63\) 的由 \(0,1\) 组成的向量。我们想要知道这 \(10^5\) 个数能凑出来的最大的数是多少，实际上就是在找它的子空间里能表示的最大数是多少。所以我们可先找到所有向量的线性基。线性基只有不到 \(63\) 个。我们做高斯消元最后会形成一个对角线全是 \(1\) ，每一位的 \(1\) 最多只存在于一个向量的的类对角线矩阵。
此时我们可以观察到，若是把所有的基底全部选到，其异或值一定最大。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
int n;
ll a[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
int k=0;
for(int i=62;i>=0;i--)//高斯消元求线性基
{
for(int j=k;j<n;j++)
if(a[j]>>i&1)
{swap(a[j],a[k]); break;}
if(!(a[k]>>i&1)) continue;
for(int j=0;j<n;j++)
if(j!=k&&(a[j]>>i&1))
a[j]^=a[k];
k++;
if(k==n) break;
}
ll res=0;
for(int i=0;i<n;i++) res^=a[i];//答案将所有的线性基异或起来
printf("%lld",res);
return 0;
}
高斯消元求解线性基的复杂度大概是 \(O(n)\)。目测
异或运算
给定你由 \(n\) 个整数构成的整数序列，你可以从中选取一些（至少一个）进行异或运算，从而得到很多不同的结果。
请问，所有能得到的不同的结果中第 \(k\) 小的结果是多少。
对于一个序列会有多组询问，多组测试数据
设 \(Q\) 为询问次数，每次询问 \(k_i\)，
\(1≤N,Q≤10000,1≤a_i,k_i≤10^{18}\)。
解析
线性基求第 \(k\) 小异或和。
我们第一步肯定还是先求线性基。
求完之后我们现在要想怎么才能把线性基的子空间里的第 \(k\) 小的向量搞出来。
同时这也涉及到另外一个问题，子空间的定义是允许所有的向量的系数为 \(0\) 的。但是在这个题中我们必须至少选一个向量，我们需要考虑 \(0\) 向量能否被其他方式凑出来。
考虑题目给我们的 \(n\) 个向量，求解之后在极大无关组中的向量有 \(k\) 个，\(k\le n\)。如果 \(k<0\) ，那么就是说存在一个向量 \(x_i\) 能被线性表示。即:
我们移个项，得到
这里的 \(-\) 定义为 \(+\) 的逆运算。
所以，当 \(k<n\) 的时候就可以断定 \(0\) 向量能被其他向量凑出来。
现在我们不妨先假设 \(k<n\)，考虑如何求第 \(k\) 小。
先放结论：我们将 \(k-1\) 二进制拆分，每一个有 \(1\) 的二进制位对应的最高位为那一位的向量异或和就是第 \(k\) 大。
首先我们二进制拆分，严格小于 \(k-1\) 的二进制拆分有 \(k-1\) 种，同时对应了 \(k-1\) 种选向量的方案，我们需要知道这里面任意一种方案是否严格小于 \(k-1\) 对应的选数的方案。
我们从一个特殊情况来看。
找到位置最靠前的不同点，在 \(x_2\) 的位置。
对于前面的 \(x_1\) ，两种情况都选择了，前面的这些位一定相同；而对于 \(x_2\) 这一位来说，第一行的情况选了，第二行的情况没有选，那么这一位第二行就是 \(0\)，第一行就是 \(1\) ，第二行要小于第一行。
其他情况同理。所以小于 \(k-1\) 的二进制表示对应的方案一定严格小于 \(k-1\) 对应的方案。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
int n;
ll arr[N];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
for(int T=1;T<=t;T++)
{
printf("Case #%d:\n",T);
scanf("%d",&n);
memset(arr,0,sizeof arr);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&arr[i]);
int k=0;
for(int i=62;i>=0;i--)//求解线性基
{
for(int j=k;j<n;j++)
if(arr[j]>>i&1)
{
swap(arr[j],arr[k]);
break;
}
if(!(arr[k]>>i&1)) continue;
for(int j=0;j<n;j++)
if(j!=k&&(arr[j]>>i&1))
arr[j]^=arr[k];
k++;
if(k==n) break;
}
reverse(arr,arr+k);//我们的线性基是反着求的，0是最高位，所以需要翻转
int q;
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
ll x;
scanf("%lld",&x);
if(k<n) x--;
if(x>=(1ll<<k))
{
printf("-1\n");
continue;
}
ll ans=0;
for(int j=0;j<k;j++)
if(x>>j&1) ans^=arr[j];
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}
乱七八糟的习题(luogu)，以后会写解题报告/题解的(大概)
