数学知识整理及部分例题(1)

基本的质数筛法

埃筛

筛去所有已知素数的倍数。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

(代码仅供参考，不保证能够通过编译及正确性)

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(!mp[i]) prime[++tot]=i;
    else continue;
    for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
        mp[i]=1;
}

线性筛

我们在埃筛的基础上，将过滤的方式改为每个合数只被其最小质因子筛掉。

时间复杂度 \(O(n)\)

参考代码：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(!mp[i]) prime[++tot]=i;
    for(int j=1；prime[j]*i<=n;j++)
    {
        mp[prime[j]*i]=1;
        if(i%prime[j]==0) break;
    }
}

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例题：哥德巴赫猜想

猜想内容：任意一个严格大于 \(4\) 的偶数都可以拆成两个奇素数之和。

现在给你一个 \(n\) ，试着将其拆为两个奇素数之和。

多组数据，以 \(0\) 结尾。

输入格式

每组数据一行一个整数 \(n\in (4,10^6]\)。

输出格式

对于每组数据输出一行。

若有解，输出形如 n=a+b 表示一组解，若有多组解输出 \(b-a\) 最大的一组。

若无解 输出 Goldbach's conjecture is wrong.

解析

迄今为止人类并没有找到无解的情况，如果你找到了，那 \(......\)

那么本题如何做？

首先的暴力做法就是直接枚举两个质数。我们能够飞快得出一个 \(n^2\) 的算法。

但是显然我们在知道和的情况下只需要枚举其中一个质数，另外一个用和减去，判定是否为奇质数即可。加上线筛复杂度 \(O(n)\)。

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例题：

夏洛克有了一个新女友（这太不像他了！）。

情人节到了，他想送给女友一些珠宝当做礼物。

他买了 \(n\) 件珠宝，第 \(i\) 件的价值是 \(i+1\)，也就是说，珠宝的价值分别为 \(2,3,…,n+1\)。

华生挑战夏洛克，让他给这些珠宝染色，使得一件珠宝的价格是另一件珠宝的价格的质因子时，两件珠宝的颜色不同。

并且，华生要求他使用的颜色数尽可能少。

请帮助夏洛克完成这个简单的任务。

输入格式

只有一行一个整数 \(n\)，表示珠宝件数。

输出格式

第一行一个整数 \(k\)，表示所使用的颜色数；

第二行 \(n\) 个整数，表示第 \(1\) 到第 \(n\) 件珠宝被染成的颜色。

若有多种答案，输出任意一种。

请用 \(1\) 到 \(k\) 表示你用到的颜色。

数据范围

\(1≤n≤10^5\)

输入样例：

3

输出样例：

2
1 1 2

解析

给 \(2\sim n+1\) 的数染色，合数不能与其质因子染色相同。

通过质数和对应合数连边，我们很容易联想到二分图匹配。

这个题显然最多只需要两种颜色，我们只需要将所有的质数染成一种颜色，将所有的合数染成另外一种颜色就可以了。

特殊的，\(n\le 2\) 时只需要一种颜色。

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例题：UVA10140 Prime Distance

原题面

• 题意翻译：

  给定两个正整数 \(l,r\)，求 \([l,r]\) 间 相邻 的两个差最大的质数和 相邻 的两个差最小的质数。如果区间内质数个数 \(\le 1\) ，输出 There are no adjacent primes.

  \(1\le l<r\le 2^{31},r-l\le 10^6\)

  多组数据。

输入样例

2 17
14 17

输出样例

2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

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解析

首先要知道，对于一个合数 \(n\) ，它必然存在一个因子 \(\le \sqrt{n}\)。

所以我们虽然不能直接筛出 \([l,r]\) 之间的质数，但是我们可以先把 \(1\sim \sqrt{r}\) 下的所有质数全部筛出来。估计一下，规模最多 \(50000\) 左右。

然后我们可以利用这些素数，使用类似埃筛的方式 \([l,r]\) 中的质数筛出来。

code(轻度压行)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e6+10;

int pr[N],tot=0;
bool mp[N];

void init(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!mp[i]) pr[++tot]=i;
		for(int j=1;pr[j]*i<n;j++)
		{
			mp[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0) break;
		}
	}
	return ;
}

int pri[N],cnt=0;
bool maps[N];
int main()
{
	init(55000);
	int l,r;
	while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF&&l&&r)
	{
		memset(maps,0,sizeof maps);
		cnt=0;
		for(int i=1;i<=tot;i++)//枚举质数
		{
			ll prime=(ll)pr[i];
			for(ll j=max((ll)l/prime,(ll)2);prime*j<=r;j++) if(prime*j-l>=0) maps[prime*j-l]=1;
		}
		for(int i=0;i<=r-l;i++)
			if(!maps[i] && i+l>=2) pri[++cnt]=i+l;
		if(cnt<2) {printf("There are no adjacent primes.\n"); continue;}
		ll maxn=pri[2]-pri[1],maxa=pri[1],maxb=pri[2];
		ll minn=pri[2]-pri[1],mina=pri[1],minb=pri[2];
		for(int i=2;i<=cnt;i++)
		{
			if(pri[i]-pri[i-1]>maxn)
			{
				maxn=pri[i]-pri[i-1];
				maxa=pri[i-1],maxb=pri[i];
			}
			if(pri[i]-pri[i-1]<minn)
			{
				minn=pri[i]-pri[i-1];
				mina=pri[i-1],minb=pri[i];
			}
		}
		printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant.\n",mina,minb,maxa,maxb);
	}
	return 0;
}

---

---

分解质因数

1s/64M

现在我们能够得到的最快的分解质因数的方法就是暴力短除法。

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例题：阶乘分解

给定整数 \(N\)，试把阶乘 \(N!\) 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 \(p_i\) 和 \(c_i\) 即可。

输入格式

一个整数 \(N\)。

输出格式

\(N!\) 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 \(p_i,c_i\)，表示含有 \(p_i^{c_i}\) 项。按照 \(p_i\) 从小到大的顺序输出。

数据范围

\(1≤N≤10^6\)

解析

暴力算是不可能的，就算写高精算出来还要质因数分解时间早炸了。

所以我们一个数一个数分解。

由于 \(N!=1\times 2\times 3 \times \cdots \times N\)

所以我们可以直接枚举 \(1\sim n\) 直接分解质因数

时间复杂度略小于 \(O(n\sqrt n)\)，仍然不够。

我们可以换个角度考虑，枚举每一个质数，直接计算质数的次数。

接下来问题就是怎么去算一个质数对应的次数。

设这个质数为 \(p\)，我们首先考察它的倍数 —— 在 \(1 \sim n\) 的所有数中，\(p\) 的倍数有 \(\lfloor \frac{n}{p} \rfloor\) 个。

但是 \(p\) 的次数不可能只是 \(1\)，有的数可能有 \(p^2,\ p^3\) 等因子。

先考虑 \(p^2\) ：这些数都在 \(p^1\) 的情况中被计过一次数了，总共有 \(\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor\) 个，我们再计数一次就可以了。也就是 \(ans + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor\)。

\(p^3, p^4, ……\) 都同理。

也就是说我们先枚举质因子 \(p\)，在枚举这个质因子的次数 \(i\)，算出具有这个因子 \(p^i\) 的数有多少个，将所有的 \(i\) 对应的计数结果加起来即是这个质因子对应的答案。

每枚举一个质因子对应的数的时间复杂度约为 \(O(\log n)\)

根据质数分布率的经验公式 \(\theta(n) = \frac{n}{\ln n}\)，总的时间复杂度大概为 \(O(\frac{n}{\ln n}\cdot \log n)\) ，在 \(10^6\) 的数据下，接近于一个常数为 \(10\) 以内的 \(O(n)\)，可以接受。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e6+10;
typedef long long ll;

int pr[N],tot=0;
bool mp[N];
void init(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!mp[i]) pr[++tot]=i;
		for(int j=1;pr[j]*i<=n;j++)
		{
			mp[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0) break;
		}
	}
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	init(n);
	for(int i=1;i<=tot;i++)// 枚举质因数
	{
		int ans=0;
		ll s=pr[i];
		while(s<=n)
		{
			ans+=n/s;
			s*=pr[i];
		}
		if(ans>0) printf("%d %d\n",pr[i],ans);
	}
	return 0;
}

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正整数的约数的个数

定义 \(d(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\ i|n\ ]\)

我们如果将 \(n\) 分解质因子为 \(n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times \cdots \times p_k^{c_k}\)，则 \(d(n)=(c_1+1)(c_2+1)(c_3+1) \cdots (c_k+1)\)。

同时，\(\sum\limits_{i=1}^nd(i)\) 的复杂度大约是 \(O(n\log n)\) 阶的。

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例题：轻拍牛头

今天是贝茜的生日，为了庆祝自己的生日，贝茜邀你来玩一个游戏．

贝茜让 \(N\) 头奶牛（编号 \(1\) 到 \(N\)）坐成一个圈。

除了 \(1\) 号与 \(N\) 号奶牛外，\(i\) 号奶牛与 \(i−1\) 号和 \(i+1\) 号奶牛相邻，\(N\) 号奶牛与 \(1\) 号奶牛相邻。

农夫约翰用很多纸条装满了一个桶，每一张纸条中包含一个 \(1\) 到 \(1000000\) 之间的数字。

接着每一头奶牛 \(i\) 从桶中取出一张纸条，纸条上的数字用 \(A_i\) 表示。

所有奶牛都选取完毕后，每头奶牛轮流走上一圈，当走到一头奶牛身旁时，如果自己手中的数字能够被该奶牛手中的数字整除，则拍打该牛的头。

牛们希望你帮助他们确定，每一头奶牛需要拍打的牛的数量。

即共有 \(N\) 个整数 \(A_1,A_2,…,A_N\)，对于每一个数 \(A_i\)，求其他的数中有多少个是它的约数。

输入格式

第一行包含整数 \(N\)。

接下来 \(N\) 行，每行包含一个整数 \(A_i\)。

输出格式

共 \(N\) 行，第 \(i\) 行的数字为第 \(i\) 头牛需要拍打的牛的数量。

数据范围

\(1≤N≤10^5, 1≤A_i≤10^6\)

输入样例：

5
2
1
2
3
4

输出样例：

2
0
2
1
3

解析

直接求解约数个数其实是比较困难的，单次 \(O(\sqrt n)\)。

所以我们考虑一下换个角度，枚举它的倍数。

伪代码(C++风格)大概是这样的：

for(i=1;i<N;i++)
{
    for(int j=i;j<N;j+=i)
    {
        ans[j]+=cnt[j];
    }
}

其中 cnt[i] 表示的是 i 在序列中出现的次数。

虽然看起来是一个两重循环的东西，但是实际上，其复杂度是 \(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\cdots +\frac{n}{n}\)，其复杂度是 \(O(n\log n)\) 。

分解是很难求的，倍数才比较好求。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+10;

int n;
int a[N],ans[N],cnt[N];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		cnt[a[i]]++;
	}
	for(int i=1;i<N;i++)
	{
		for(int j=i;j<N;j+=i)
			ans[j]+=cnt[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[a[i]]-1);//记得减去自己
	return 0;
}

---

例题：樱花

题目简述：

给定正整数 \(n\) ，求：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\) 的正整数解组数。

输入格式

一个整数 \(n\)。

输出格式

一个整数，表示满足条件的数对数量。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

数据范围

\(1≤n≤10^6\)

输入样例：

2

输出样例：

3

解析

直接开始愉快捣鼓式子

我们试着将 \(y\) 表示为 \(x\)。

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\\ \Rightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}\\ \Rightarrow x\cdot n!+y\cdot n!=xy\\ \Rightarrow (x-n!)y=x\cdot n!\\ \Rightarrow y=\frac{x\cdot n!}{x-n!}\\ \Rightarrow y=\frac{(x-n!+n!)n!}{x-n!}\\ \Rightarrow y=n!+\frac{(n!)^2}{x-n!} \]

由于 \(n!\) 一定是一个正整数，我们确定的 \(x\) 只需要满足 \(\frac{(n!)^2}{x-n!}\) 是正整数就可以了。

换句话说，我们只需要求得 \((n!)^2\) 有多少因子就可以了。

直接参考上面 阶乘分解 一题的方式分解质因数，然后用约数个数定理直接求即可。

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反素数

对于任何正整数 \(x\)，其约数的个数记作 \(g(x)\)，例如 \(g(1)=1\)、\(g(6)=4\)。

如果某个正整数 \(x\) 满足：对于任意的小于 \(x\) 的正整数 \(i\)，都有 \(g(x)>g(i)\)，则称 \(x\) 为反素数。

输入格式

一个正整数 \(N\)。

输出格式

一个整数，表示不超过 \(N\) 的最大反素数。

数据范围

\(1≤N≤2\times 10^9\)

输入样例：

1000

输出样例：

840

解析

对于这类给新定义的题，我们可以去发掘一下这个定义的性质。

首先可以知道，一个反素数的各个质因子次数不会很高。毕竟\(2^{31}-1=2147483647> 2\times 10^9\)。而且它们的次数还单调递减。

其次根据贪心，我们可以试着如下构造：\(x=2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times \cdots\) 。我们发现当我们乘到第 \(10\) 个质数时，爆int了；乘到第 \(17\) 个质数时，爆long long了。

总之可以得到，\(2\times 10^9\) 内，反素数最大有 \(9\) 个因子。单个因子次数最大 \(30\) 次。

于是，我们可以愉快爆搜。

#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int pr[110],tot=0;
bool mp[110];
void init(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!mp[i]) pr[++tot]=i;
		for(int j=1;pr[j]*i<=n;j++)
		{
			mp[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0) break;
		}
	}
}

int n;
int anss=0,ansp=0;
void dfs(int x,int cnt,int s,int p)//  枚举到几个质数，剩余可分配的次数(max=30)，当前数大小，当前数约数个数
{
	if((ansp==p&&anss>s)||(ansp<p))
	{
		anss=s,ansp=p;
	}
	if(x>=9) return ;//素数个数上限
	int ss=s;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)//枚举因子的次数
	{
		if((ll)pr[x]*ss>n) break;//三年OI一场空，不开long long见祖宗
		ss*=pr[x];
		dfs(x+1,cnt-i,ss,p*(i+1));
	}
	return ;
}

int main()
{
	init(100);
	scanf("%d",&n);
	dfs(1,30,1,1);
	printf("%d",anss);
	return 0;
}

---

---

欧拉函数

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 定义为 \(1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

若 \(N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times \cdots \times p_k^{c_k}\)，则

\[\varphi (n)=N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})\cdots (1-\frac{1}{p_k}) \]

这个式子可以由容斥定理得到，证明留作练习

根据定义，欧拉函数有如下递推式：

\[1.\varphi(i\times p)=\varphi (i)\times p \]

其中 \(p\) 为 \(i\) 的最小质因子。

\[2.\varphi(i\times p)=\varphi (i)\times (p-1) \]

其中 \(p\) 为 \(i\) 的非最小质因子。

由于这个性质，我们可以通过线性筛法求解 \(\varphi\)。

int n;
int pr[N],tot=0;
int phi[N];

void init(int n)
{
	phi[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!mp[i]) pr[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;pr[j]*i<=n;j++)
		{
			mp[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0) {phi[pr[j]*i]=phi[i]*pr[j]; break;}
			phi[pr[j]*i]=phi[i]*(pr[j]-1);
		}
	}
}

---

例题：可见的点

在一个平面直角坐标系的第一象限内，如果一个点 \((x,y)\) 与原点 \((0,0)\) 的连线中没有通过其他任何点，则称该点在原点处是可见的。

例如，点 \((4,2)\) 就是不可见的，因为它与原点的连线会通过点 \((2,1)\)。

部分可见点与原点的连线如下图所示：

编写一个程序，计算给定整数 \(N\) 的情况下，满足 \(0≤x,y≤N\) 的可见点 \((x,y)\) 的数量（可见点不包括原点）。

输入格式

第一行包含整数 \(C\)，表示共有 \(C\) 组测试数据。

每组测试数据占一行，包含一个整数 \(N\)。

输出格式

每组测试数据的输出占据一行。

应包括：测试数据的编号（从 \(1\) 开始），该组测试数据对应的 \(N\) 以及可见点的数量。

同行数据之间用空格隔开。

数据范围

\(1≤N,C≤1000\)

输入样例：

4
2
4
5
231

输出样例：

1 2 5
2 4 13
3 5 21
4 231 32549

解析

我们可以把每条光线看为一条直线，那么一个点 \((x_0,y_0)\) 要能够被照到需满足以下条件：

• 在一条直线 \(l:y=\frac{y_0}{x_0}\cdot x\) 上。
• 这条直线 \(l\) 上没有其它的点 \((x_1,y_1)\) 满足 \(x_1<x_0\) 。

也就是要求 \((x_0,y_0)\) 互质。

证明留作思考，提示：反证法。

那么，我们枚举 \(x_0\) 或 \(y_0\)，求的就是 \(\sum\limits_{x_0=1}^n\varphi(i)\)

根据对称以及算上，再 \(×2+1\) 即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+10;

int pr[N],tot=0,phi[N];
bool mp[N];

void init(int n)
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!mp[i]) pr[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;pr[j]*i<=n;j++)
		{
			mp[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0) {phi[pr[j]*i]=phi[i]*pr[j]; break;}
			phi[pr[j]*i]=phi[i]*(pr[j]-1);
		}
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
		phi[i]+=phi[i-1];
}

int main()
{
	int T; scanf("%d",&T);
	int t=T; init(10000);
	while(T--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("%d %d %d\n",t-T,n,phi[n]*2+1);
	}
	return 0;
}

---

例题：GCD

给定整数 \(N\)，求 \(1≤x,y≤N\) 且 \(GCD(x,y)\) 为素数的数对 \((x,y)\) 有多少对。

\(GCD(x,y)\) 即求 \(x,y\) 的最大公约数。

输入格式

输入一个整数 \(N\)。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的数对数量。

数据范围

\(1≤N≤10^7\)

输入样例：

4

输出样例：

4

解析

莫反sb题

题目求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[gcd(i,j)\ is\ prime]\) 。

我们套路地令 \(gcd(i,j)=d\)

然后捣鼓式子 \(\sum\limits_{d=1}^n[d\ is\ prime]\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits_{j=1}^{n/d}[gcd(i,j)=1]\)

就可以直接套结论了。

现在仔细一看，这不就上一道题？

所以我们可以套上一题的结论，直接线筛欧拉函数求解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e7+10;

ll pr[N],tot=0,phi[N];
bool mp[N];

void init(ll n)
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!mp[i]) pr[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;pr[j]*i<=n;j++)
		{
			mp[(ll)pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0)
			{
				phi[(ll)pr[j]*i]=phi[i]*pr[j];
				break;
			}
			phi[(ll)pr[j]*i]=phi[i]*(pr[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		phi[i]+=phi[i-1];
}

int main()
{
	ll n;
	scanf("%lld",&n);
	init(n);
	ll res=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		res+=phi[n/pr[i]]*2-1;
	printf("%lld",res);
	return 0;
}

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同余

设 \(m\) 是一个给定的正整数。\(a,b\) 是两个整数，如果 \(a,b\) 对 \(m\) 做带余除法得到的余数相等，则我们称 \(a,b\) 关于 \(m\) 同余，在不引起歧义的情况下，简称 \(a,b\) 同余。

同余的概念还能够被表达为：

• 当 \(a=b+km\ ,(k\in Z)\) 时，\(a,b\) 同余。

• 当 \(m|(a-b)\) 时，\(a,b\) 同余。

性质：

同余式具有以下性质。

1. 多个同模数同余式可以两边相加相乘。

   即若 \(a_1\equiv b_1,a_2\equiv b_2,\dots ,a_k\equiv b_k \quad (\mod m)\)，则 \(\sum\limits_{i=1}^ka_i\equiv \sum\limits_{i=1}^kb_i\quad (\mod m)\)

2. 同余式可以直接移项。

   即若 \(a+c\equiv b\quad (\mod m)\)，则 \(a\equiv b-c\quad (\mod m)\)

3. 同余式任意一边都可以加上或减去任意整数倍模数 \(m\)。

4. 如果同余式两边有和模数互质的公因子，则两边可以同时除以这个公因子，模数不变。

   即若 \(a\equiv b\quad (\mod m)\ ,\ a=a_1d\ ,\ b=b_1d\) 且 \(gcd(d,m)=1\) ，则 \(a_1\equiv b_1\quad (\mod m)\)

5. 同余式两边的数和模可以同时被它们任一公约数除。

   即若 \(a\equiv b\quad (\mod m)\ , \ a=a_1d\ , \ b=b_1d\ ,\ m=m_1d\) ，则 \(a_1\equiv b_1\quad (\mod m_1)\)

6. 模数与同余式两边可以都同时乘任意非零整数 \(k\)。

7. 如果同余式的一边和模数同时能被某个整数除尽，那么同余式的另一边也可被这个这个数除尽。

8. 同余式一边上的数与模的最大公约数，等于另一边上的数与模的最大公约数。

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费马小定理

若 \(p\) 是质数且 \(gcd(a,p)=1\)，则 \(a^{p-1}\equiv 1\quad (\mod p)\)。

我们可以利用费马小定理来简化幂模运算：由于 \(a^{p-1}≡a^0≡1\quad(\mod p)\) ，所以 \(a^x\quad(\mod p)\) 有循环节，长度为 \(p-1\)，所以 \(a^x≡a^{x\%(p-1)}\quad (\mod p)\)

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扩展欧几里得算法

已知 \(gcd(a,b)=d\) ，我们想要求解一组 \(x,y\) 满足 \(ax+by=d\)。

之前欧几里得算法的原理是 \((a,b)=(b,a\ mod\ b)\)。我们可以使用这个算法求解两数 \(gcd\)，现在我们在回溯过程中试图求解上述问题。

我们假设已经算出了一组 \(x,y\) 使得 \(yb+x(a\ mod\ b)=d\) ，现在我们要搞 \(x^{\prime},y^{\prime}\) 使得 \(ax^{\prime}+by^{\prime}=d\) 。

我们直接展开。

\[yb+x(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)=d\\ \Rightarrow yb+xa-x\lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times b\\ \Rightarrow ax+b(y-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x)=d\\ \]

所以我们只需要让 \(x^{\prime}=x\ ,\ y^{\prime}=y-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x\) 即可。

最终求出来的 \(x_0,y_0\) 便是上面不定方程的一组特解。

其通解应为
\(\begin{cases} x=x_0+k\lfloor\frac{b}{d}\rfloor\\ y=y_0-k\lfloor\frac{a}{d}\rfloor\\ \end{cases}\)

---

例题：同余方程

求关于 \(x\) 的同余方程 \(ax\equiv 1\quad (\mod b)\) 的最小正整数解。

输入格式

一行两个整数 \(a,b\)，意义如题。

输出格式

一行一个整数，表示最小正整数解。

数据范围

\(2\le a,b\le 2\times 10^9\)

输入保证有解。

解析

对于线性同余方程 \(ax\equiv b\quad (\mod c)\) ，其等价于 \(ax+cy=b\)。

也就是说我们可以直接使用exgcd来求解。

对于这个题我们可以先求一组解 \(x_0,y_0\) 使得 \(ax_0+by_0=1\) 成立。

然后，我们通过通解公式 \(x=x_0+kb\ne 0\) 得到，最小正整数和应该是 \(x_0\ mod\ b\)。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//x,y是对应的解，返回值是a,b的GCD
{
	if(!b)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);//x,y颠倒一下好算
	y-=a/b*x;
	return d;
}

int main()
{
	int a,b;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d",(x%b+b)%b);
	return 0;
}

例题：青蛙的约会

1s/10M

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。

它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。

可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。

不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。

但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。

为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 \(A\) 和青蛙 \(B\)，并且规定纬度线上东经 \(0\) 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 \(1\) 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。

设青蛙 \(A\) 的出发点坐标是 \(x\)，青蛙 \(B\) 的出发点坐标是 \(y\)。

青蛙 \(A\) 一次能跳 \(m\) 米，青蛙 \(B\) 一次能跳 \(n\) 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。

纬度线总长 \(L\) 米。

现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入格式

输入只包括一行 \(5\) 个整数 \(x,y,m,n,L\)。

输出格式

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行 Impossible。

数据范围

\(x≠y<2\times 10^9,\\ 0<m,n<2\times 10^9,\\ 0<L<2.1\times 10^9\)

输入样例

1 2 3 4 5

输出样例：

4

解析

已知 \(x,y,n,m,L\) ，求 \(x+km\equiv y+kn\quad (\mod L)\) 最小正整数解。

移项，合并同类项： \((m-n)k=y-x\quad (\mod L)\)

所以我们解这个东西就可以了。

将同余方程写成等式 \((m-n)k+pL=y-x\)。

我们求出任意一组解 \(k_0,p_0\)，就可以得到最小正整数解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e6+10;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}

int main()
{
	ll a,b,n,m,l;
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&m,&n,&l);
	ll x,y;
	ll d=exgcd(m-n,l,x,y);
	if((b-a)%d)//无解判定
	{
		printf("Impossible\n");
		return 0;
	}
	/*
    此时求出来的方程等式左边是 d
    求出来解之后，我们还要把等式两边扩大若干倍，使得等式左边为b-a
    */
	x*=(b-a)/d;
	ll t=(ll)abs(l/d);
	printf("%lld\n",(x%t+t)%t);
	return 0;
}

---

例题：幸运数字

\(8\) 是中国的幸运数字，如果一个数字的每一位都由 \(8\) 构成则该数字被称作是幸运数字。

现在给定一个正整数 \(L\)，请问至少多少个 \(8\) 连在一起组成的正整数（即最小幸运数字）是 \(L\) 的倍数。

输入格式

输入包含多组测试用例。

每组测试用例占一行，包含一个整数 \(L\)。

当输入用例 \(L=0\) 时，表示输入终止，该用例无需处理。

输出格式

每组测试用例输出结果占一行。

结果为 Case i: \(+\) 一个整数 \(N\)，\(N\) 代表满足条件的最小幸运数字的位数。

如果满足条件的幸运数字不存在，则 \(N=0\)。

数据范围

\(1≤L≤2×10^9\)

输入样例：

8
11
16
0

输出样例：

Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

解析

我们试图将这样的数表示为公式。

对于一个 \(8888888\)，我们可以把它拆成 \(8\times 1111111\) 。

还是没有什么线索。我们继续对这一堆 \(1\) 乱搞。

\(1111111=\frac{9999999}{9}=\frac{10^x-1}{9}\)

总算有个人样了。

现在，我们要解的东西就变成了：当 \(x\) 取多少时，\(L|8\times \frac{10^x-1}{9}\)。

再化一下简：

\[L|8\times \frac{10^x-1}{9}\\ \Rightarrow 9L|8(10^x-1)\\\ \\ \text {令 $d=gcd(8\ ,\ L)$ }\\\ \\ 原式\Rightarrow \frac{9L}{d}|10^x-1 \]

令 \(C=\frac{9L}{d}\) 转化为同余方程，就是让我们求解：\(10^x\equiv 1\quad (\mod C)\)

这个问题就很清楚了。

根据欧拉定理，当 \(gcd(a,n)=1\) 时，有 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\quad (\mod n)\)。

而在这个题中，若是 \(gcd(C,10)\ne 1\) ，同余式右边绝不可能等于 \(1\)。

所以 \(gcd(C,10)\) 一定要等于 \(1\)，不然无解。

综上，我们只需要求解 \(\varphi(C)\) 即可。

我们如何求解最小呢？欧拉定理只能求出一个可行解，并不保证这个解是最小的。

这里我们先猜测结论：满足这个同余方程的最小正整数 \(x\) 一定能够整除 \(\varphi(C)\)。

这样我们只需要求解 \(\varphi(C)\) 约数就可。

假设有一个 \(x\) 满足等式，且不是 \(\varphi (C)\) 的因子。

令 \(\varphi(C)=kx+r,\quad (0<r<x)\)，把它写成带余除法的形式。

\(\because 10^x\equiv 1\ ,\ 10^{\varphi(C)}\equiv 1\)

\(\therefore 10^{kx+r}\equiv 10^x \Rightarrow 10^{r}\equiv 1\)

故 \(x\) 不是最小的数，所以假设不成立，原命题成立。

现在我们要做的就是求 \(C\) 的所有因子就可以了。

总结一下算法步骤:

• 首先我们要求解 \(d\) ，\(d=gcd(L,8)\) 。
• 求解 \(C=\frac{9L}{d}\) 。
• 求解 \(\varphi(C)\)，以及最小因子。

另外，这个题乘法可能爆 long long 要写龟速乘。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

ll qmul(ll a,ll k,ll mod)//龟速乘
{
	ll res=0;
	while(k)
	{
		if(k&1) res=(res+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		k>>=1;
	}
	return res;
}

ll fpow(ll a,ll k,ll mod)
{
	ll res=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) res=qmul(res,a,mod);
		a=qmul(a,a,mod);
		k>>=1;
	}
	return res;
}

ll get_eular(ll C)
{
	ll res=C;
	for(ll i=2;i<=C/i;i++)
	{
		if(C%i==0)
		{
			while(C%i==0) C/=i;
			res=res/i*(i-1);
		}
	}
	if(C>1) res=res/C*(C-1);
	return res;
}

int main()
{
	int t=0;
	ll L;
	while(scanf("%lld",&L)!=EOF && L)
	{
		int d=gcd(L,8);
		ll C=9*L/d;
		ll phi=get_eular(C);
		ll res=1e18;
		if(C%2==0||C%5==0)
		{
			res=0;
			printf("Case %d: %lld\n",++t,res);
			continue;
		}
		for(ll p=1;p*p<=phi;p++)
		{
			if(phi%p==0)
			{
				if(fpow(10,p,C)==1) res=min(res,p);
				if(fpow(10,phi/p,C)==1) res=min(res,phi/p);
			}
		}
		printf("Case %d: %lld\n",++t,res);
	}
	return 0;
}

CRT

曹冲养猪

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始琢磨让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲很不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。

举个例子，假如有 \(16\) 头母猪，如果建了 \(3\) 个猪圈，剩下 \(1\) 头猪就没有地方安家了；如果建造了 \(5\) 个猪圈，但是仍然有 \(1\) 头猪没有地方去；如果建造了 \(7\) 个猪圈，还有 2 头没有地方去。

你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入格式

第一行包含一个整数 \(n\)，表示建立猪圈的次数；

接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(a_i\),\(b_i\)，表示建立了 \(a_i\) 个猪圈，有 \(b_i\) 头猪没有去处。

你可以假定 \(a_i\),\(a_j\) 互质。

输出格式

输出仅包含一个正整数，即为曹冲至少养猪的数目。

数据范围

\(1≤n≤10,\\ 1≤bi≤ai≤1100000\)

所有 \(a_i\) 的乘积不超过 \(10^{18}\)

输入样例：

3
3 1
5 1
7 2

输出样例：

16

解析

有小学奥数钠味？

这是一道几乎算是中国剩余定理(或者叫孙子定理， CRT )的裸题。

先来回顾一下中国剩余定理：

有一组线性同余方程：

\[\begin{cases} x\equiv a_1\quad \mod m_1\\ x\equiv a_2\quad \mod m_2\\ x\equiv a_3\quad \mod m_3\\ \cdots\\ x\equiv a_n\quad \mod m_n\\ \end{cases} \]

我们要解出 \(x\) 的一个正整数解。

当 \(m_1\sim m_n\) 两两互质(不互质可以使用扩展 CRT )时可以有如下解法：

设 \(M=m_1m_2m_3\cdots m_n\)

我们令 \(M_i=\frac{M}{m_i}\ ,\ t_i\equiv M_i^{-1}(\mod m_i)\)

则 \(x=\sum\limits_{i=1}^na_iM_it_i\) 。

这是一个构造性结论，建议背过。

这个题就是把中国剩余定理实现一下就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=150;

int n;
ll A[N],B[N];


void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b) x=1,y=0;
	else
	{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	ll M=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&A[i],&B[i]);
		M*=(ll)A[i];
	}
	ll res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll Mi=M/A[i];
		ll ti,x;
		exgcd(Mi,A[i],ti,x);//解 Mi*ti≡1(mod mi) -> 解 Mi*ti+mi*x=1
		res+=B[i]*Mi*ti;
	}
	printf("%lld",(res%M+M)%M);//最后答案记得模M
	return 0;
}

---

EXCRT

话不多述直接看题：

线性同余方程组

1s/500M

给定 \(n\) 非负整数 \(a_i,b_i\) 求解关于 \(x\) 的如下方程组的最小非负整数解：

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \quad \mod b_1\\ x\equiv a_2 \quad \mod b_2\\ x\equiv a_3 \quad \mod b_3\\ \cdots \\ x\equiv a_n \quad \mod b_n \end{cases} \]

输入格式

输入第一行包括一个整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行两个非负整数 \(a_i,b_i\) 。

输出格式

一行一个整数 \(x\)，表示方程组的最小非负整数解。

输入样例

3
11 6
25 9
33 17

输出样例

809

数据规模

对于100%的数据：\(1\le n\le 10^5,\ 1\le a_i\le 10^{12},\ 0\le b_i\le a_i\)

数据保证有解，保证 \(lcm\{a_i\}\le 10^{18}\)。

注意运行过程中乘法可能有溢出风险。

解析

现在两两互质的条件没了，CRT 无法使用了，要使用其他的方法。

我们先从最简单的两个式子开始考虑，看看能不能将问题合并/缩小。

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \quad \mod m_1\\ x\equiv a_2 \quad \mod m_2\\ \end{cases} \]

我们把两个方程写开成等式：\(\begin{cases}x=a_1+k_1m_1&\cdots ①\\ x=a_2+k_2m_2 &\cdots ②\end{cases}\)

发现 \(a_1,a_2,m_1,m_2\) 都是已知的，未知数只有 \(x,k_1,k_2\)。

试图联立一下，找到 \(k_1,k_2\) 的关系：

\[a_1+k_1m_1=a_2+k_2m_2\\ \Rightarrow k_1m_1-k_2m_2=a_2-a_1 \]

观察，我们得到了一个不定方程，可使用 \(exgcd\) 得到它的整个解系。

我们假设有特解 \(k_1=X+q_1\cdot \frac{(a_2-a_1)\cdot m_1}{gcd(m_1,m_2)}\quad \cdots ③\)

回代到 \(①\) 中，得到 \(x=a_1+Xm_1+q_1\cdot \frac{(a_2-a_1)m_1m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\)

由于 \(\gcd(m_1,m_2)=\frac{m_1m_2}{lcm(m_1,m_2)}\)

所以 \(x=a_1+Xm_1+q_1(a_2-a_1)\cdot lcm(m_1,m_2)\)。

于是方程被转换为了有关于 \(x\) 的解系。

由于 \(q_1\) 可以任取，我们还可以把它转回同余方程的形式:

\(x\equiv a_1+Xm_1\quad (\mod (a_2-a_1)\cdot lcm(m_1,m_2))\)

按照这样的方法，我们可以继续合并，最终得到一个方程然后求解。

无解的情况就是exgcd无解的情况。

总结算法流程：

1. 输入方程组
2. 弹出两个方程，判断是否有解。
   • 若无解，视具体题目处理。
   • 若有解，合并成同一个方程，放入方程组中，重复2操作。
3. 若只剩一个方程，解出来 \(x\) 即为整个方程组的解。

code(洛谷会炸一个点)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e6+10;

int n;
ll ai[N],mi[N];

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b) {x=1,y=0; return a;}
	else
	{
		ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
		return d;
	}
}

void excrt()
{
	bool flag=1;//是否有解
	ll a1=ai[1],m1=mi[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		ll a2=ai[i],m2=mi[i];
		ll k1,k2;
		ll d=exgcd(m1,-m2,k1,k2);
		if((a2-a1)%d!=0)//无解
		{
			flag=0;
			break;
		}
		k1*=(a2-a1)/d;
		ll t=m2/d;
		k1=(k1%t+t)%t;

		a1=m1*k1+a1;
		m1=abs(m1/d*m2);
	}
	if(flag) printf("%lld",(a1%m1+m1)%m1);
	else printf("-1");
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&mi[i],&ai[i]);
	excrt();
	return 0;
}

---

剩余系

剩余系有两种：完全剩余系和缩剩余系(简化剩余系)。

定义

完全剩余系：对于一个给定的正整数 \(n\) ，一个非负整数模 \(n\) 的答案有 \(0,1,2,\cdots n-1\)。其所有的答案构成一个集合 \(\{0,1,2,\cdots n-1\}\) 就叫做模 \(n\) 的完全剩余系，在不引起歧义的情况下可简称完全剩余系或完系。

缩剩余系：对于一个正整数 \(n\) ，其对应完全剩余系为 \(D\)，定义缩剩余系 \(S\) 为 \(S=\{x|x\in D, \gcd(x,n)=1\}\) ，也就是将完全剩余系中所有与 \(n\) 互质的数组成的集合，这个集合的元素个数 \(|S|=\varphi(n)\)，\(\varphi\) 是欧拉函数。有时也简称缩系。

性质

1. 加法不变性

   若 \(\{a_1,a_2,a_3\dots,a_n\}\) 为一完系

完全剩余系和缩剩余系还有许多群论性质，这里不作讨论。

---

威尔逊定理

一个数 \(p\) 是素数的充要条件是 \((p-1)!\equiv -1 \quad (\mod p)\)

没太大实际用途，记一下以防万一。

不会吧不会吧不会真的有人为了判质数算阶乘吧？