网络流基本概念和定义

网络流的基本概念

做题大致思路

问题 \(\rightarrow\) 某种方式建图的网络流 \(\rightarrow\) 网络流解与原问题解是否等价。

流网络

流网络是一个有向图 \(G<V,E>\)，其中有两个特殊点 \(s,t\in V\) ，分别为源点和汇点。\(G\) 中每一条边有一个 \(\ge 0\) 的权值，称作边的容量，边 \((u,v)\) 容量可记做 \(c(u,v)\)。

源点相当于一个水源，汇点相当于一个大海，中间的边和点相当于河流水道，水从水源流出，流经河道，流向大海。容量描述的就是这些河流水道的宽度/深度/etc.。

为了简化问题，我们假设若存在边 \((u,v)\in E\)，则不存在 \((v,u)\in E\) 。

其实我们也有一种办法消除这种边，只需要将 \((v,u)\) 拆成 \((v,t)\) 和 \((t,u)\) 就可以了。

总之，在考虑问题时，不用考虑反向边。

可行流

对于每一个流网络，我们可以考虑它的任意一个可行流(可简称流)，流用 \(f\) 来表示，\(f(u,v)\) 表示的是单位时间内从 \(u\) 点到 \(v\) 点流经边 \((u,v)\) 的流。

通俗的来说，就是河道里面流了多少水。

就是说我们要指定每一条边的流量得到一个方案 \(f\) ，若满足两个条件：容量限制 和 流量守恒 ，则称这个 \(f\) 是一个可行流。

容量限制：流经边的流量小于等于边的容量，即：

\[0 \le f(u,v) \le c(u,v) \]

流量守恒：除了源点汇点之外其他点不能存储流量。也就是说，流入的流量之和应该等于流出的流量之和，即：

\[\sum_{v\in V}f(u,v)=\sum_{v\in V}f(v,u) \]

我们完全不用考虑反向边。

对于一个可行流 \(f\) ，\(|f|\) 代表这个可行流的流量值，表示流从源点流向汇点的速率。我们定义:

\[|f|=\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)-\sum_{(v,s)\in E} f(v,s) \]

就是单位时间内从源点流出的总流量减去从源点流入的总流量。

最大流

最大流，也叫最大可行流，一个流 \(f\) 是最大流当且仅当 \(|f|\) 最大。

残留网络

定义一个有向图 \(G<V,E,W>\) 对应一个可行流 \(f\) 的残留网络 \(G_f<V_f,E_f,W_f>\) ，其 \(V_f=V\ ,\ E_f=E+\{(u,v)|(v,u)\in E\}\)，其每条边的容量 \(c^{\prime}(u,v)\) 与原图及对应可行流 \(f\) 的关系如下：

\[c^{\prime}(u,v)= \begin{cases} c(u,v)-f(u,v) &,&(u,v)\in E\\ \\ f(v,u) &,&(v,u)\in E \end{cases} \]

可以看出，对于原网络的任意一个可行流都可以建立一个残留网络。

上图示：(红色为可行流，蓝色为容量)

这个网络的残留网络应为：(红色为反向边及其权值，蓝色为原图有的边及其权值)

残留网络的性质

• 若 \(f\) 为图 \(G\) 的一个可行流，\(f^{\prime}\) 是其残留网络的一个可行流，则 \(f\)+\(f^{\prime}\) 也是图 \(G\) 的一个可行流。

  定义这里的流量相加的规则为：\(|f+f^{\prime}|=\sum_{(u,v)\in E}f(u,v)+f^{\prime}(u,v)-f^{\prime}(v,u)=|f|+|f^{\prime}|\)。

  证明暂略。

• 推论：若对于图 \(G\) 的一个可行流 \(f\) ，其残留网络 \(G_f\) 中存在一个可行流 \(f^{\prime}\) ，其 \(|f^{\prime}| > 0\) 则 \(f\) 一定不是最大流。逆命题仍然成立。

  证明暂略。

增广路径

在残留网络里面，从源点开始沿容量大于0的边走到汇点的简单路径称为增广路径，也叫流增广路径。

增广路径一定是原网络的一个可行流。

性质

• 对于图 \(G\) 的一个可行流 \(f\)，若 \(f\) 的残留网络 \(G_f\) 中没有增广路径，则 \(f\) 是图 \(G\) 的一个最大流。

割

有向图 \(G\) 的割为点集 \(V\) 的一个划分方案 \(<S,T>\) 使得 \(S\cap T=\varnothing,S\cup T=V\)。

割的容量

一个割 \(<S,T>\) 的容量 \(C(S,T)\) 为

\[C(S,T) = \sum_{u\in S}\sum_{v\in T} c(u,v) \]

最小割指的一般是最小容量割。

割的流量

一个割 \(<S,T>\) 在可行流 \(f\) 下的流量 \(F(S,T)\) 为

\[F(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in T}\sum_{v\in S}f(u,v) \]

运算方式

接下来定义点集子集(不一定没有交集)之间的流量运算方式

对于点集 \(X,Y\subsetneq V\)

\[F(X,Y)=\sum_{u\in X}\sum_{v\in Y}f(u,v)-\sum_{u\in Y}\sum_{v\in X}f(u,v) \]

推出如下运算律：

\(F(X,Y)=-F(Y,X)\)

\(F(X,X)=0\)

\(F(Z,X\cup Y)=F(Z,X)+F(Z,Y)\)

\(F(X\cup Y,Z)=F(X,Z)+F(Y,Z)\)

性质

1. 对于任意割 \(<S,T>\) ，其流量一定小于等于容量。

   定义式相加易得。

2. 对于割 \(<S,T>\)，其对应的可行流的值 \(|f|=F(S,T)\)。

   由流量守恒原则易得。

3. 对于任意一个 \(f\) ，有 \(|f|\le C(S,T)\) 对任意割成立。

   推论：最大流流量小于等于最小割容量

最大流最小割定理

对于一个网络 \(G\) ，一个流 \(f\) 是最大流 \(^①\) ，等价于 \(G\) 的残留网络 \(G_f\) 中没有增广路 \(^②\)，等价于存在一个割 \(<S,T>\) 使得 \(|f|=C(S,T)^③\) 。

证明：

\[\begin{aligned} ①\Rightarrow②:& 设f是图G的最大流\\ &假设残留网络G_f存在增广路|f^{\prime}|>0\\ &\because f+f^{\prime}一定为可行流 \land |f+f^{\prime}|>f\\ &\therefore 假设不成立\\ &故原命题成立\\ \end{aligned}\\ \ \\ \begin{aligned} ②\Rightarrow③:& 定义S为在G_f中从s开始沿着容量大于0的边走左右能走到的点。\\ &可以知道，由于G_f没有增广路，所以t\notin S\\ &令：T=V-S(V为整个图所有点的点集)\\ &则<S,T>是一个合法的割。\\ &任取x\in S， y\in T\\ &\because G_f没有增广路\\ &\therefore f(x,y)=c(x,y)当(x,y)\in E\\ &\quad f(y,x)=0,当(y,x)\in E\\ &\because |f|=F(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T} f(v,u)\\ &\therefore |f|=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)=C(S,T) \end{aligned}\\ \ \\ \begin{aligned} ③\Rightarrow①:& 设f为图G的可行流，f_{max} 为图G的最大流。\\ &\therefore |f|\le |f_{max}|\\ &\because |f|=C(S,T)\\ &又\because C(S,T)\ge |f_{max}|\\ &\therefore f=f_{max}\\ \\ \end{aligned}\\ 综上，①\Leftrightarrow ②\Leftrightarrow ③,Q.A.D \]

FF方法

基于最大流最小割定理，我们可以得到如下方法求解最大流。

1. 输入一个网络 \(G\)
2. 确定一个可行流 \(f\)，为当前可行流
3. 在其残留网络\(G_f\)中寻找增广路径 \(f^{\prime}\)。
4. 更新当前可行流为 \(f+f^{\prime}\)
5. 转3，若找不到增广路，输出当前可行流。