扩展KMP(Z函数)

扩展KMP(Z函数)

本质仍然是尽量应用串内的信息。

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Z函数

• 定义

  一个数的 \(z\) 函数 \(z(i)\) 表示的是这个字符串和它从 \(i\) 开始的后缀的最长匹配长度。

  即： \(z(i)=|\ lcp(s,s+i-1)\ |\)

  (这里的数组下标从 \(1\) 开始)

• 做法

  暴力求 \(O(n^2)\) ，大部分时候不可接受。

  我们可以维护终点为 \(r\) 的最大匹配子串 \([l\ ,\ r]\)，\(z_l\)就相当于它的长度。

  当 \(i\le r\) 时，\(z_i\) 可以直接从 \(min(z_{i-l+1}，r-i+1)\) 开始，否则从 \(0\) 开始；

  然后继续暴力匹配得到 \(z_i\)。

  判定 \([i+z_i-1>r]\) 若为真则将区间更新至 \([i\ ,\ i-z_i+1]\)。

  注意 \(z_1=n\) 单独处理。

  代码实现：

void zfunc(char *p,int n)//求解z函数
{
	for(int i=1;i<=n;i++) z[i]=0;
	z[1]=n;
	for(int i=2,l=0,r=0;i<=n;i++)
	{
		if(i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+z[i]<=n&&p[i+z[i]]==p[z[i]+1]) z[i]++;//i+z[i]<=字符串长度
		if(i+z[i]-1>r) l=i,r=i+z[i]-1;
	}
}

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Extend Z函数

• 定义

  模仿Z函数的定义，我们可以定义一个扩展Z函数：

  对于文本串 \(s\) , 和模式串 \(p\)

  \(Exz(i)=|lcp(p,s+i)|\)

  也就是 \(p\) 与 \(s\) 的所有后缀的最长公共前缀长度数组。

• 做法

  做法也可以模仿Z函数

  仍然是维护 \(s\) 的最长匹配子串 \([l\ ,\ r]\) 。\(Exz_l\) 即是区间长度。

  首先求解模式串 \(p\) 的z函数。

  当 \(i\le r\) 时 \(Exz_i\) 直接从 \(min(z_{i-l+1},r-l+1)\) 开始，否则\(Exz_i=0\)。

  然后暴力匹配得到 \(Exz_i\) 的值。

  判定 \([i+Exz_i-1>r]\) 若为真则将区间更新至 \([i\ ,\ i-Exz_i+1]\)。

  过程几乎没什么变化。

void extend_Z(char *s,char *p,int n,int m)
{
	zfunc(p,m);
	for(int i=2,l=0,r=0;i<=n;i++)
	{
		if(i<=r) exz[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+exz[i]<=n&&s[i+exz[i]]==p[1+exz[i]]) exz[i]++;
		if(i+exz[i]-1>r) l=i.r=i+exz[i]-1;
	}
}

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完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=2e7+10;

char s[N],p[N];//文本串，模式串
int z[N];//z函数针对模式串

void zfunc(char *p,int n)//求解z函数
{
	for(int i=1;i<=n;i++) z[i]=0;
	z[1]=n;
	for(int i=2,l=0,r=0;i<=n;i++)
	{
		if(i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+z[i]<=n&&p[i+z[i]]==p[z[i]+1]) z[i]++;//i+z[i]<=字符串长度的边界不能忘
		if(i+z[i]-1>r) l=i,r=i+z[i]-1;
	}
}

int exz[N];

void extend_Z(char *s,char *p,int n,int m)
{
	zfunc(p,m);
	for(int i=1;i<=n;i++) exz[i]=0;
	for(int i=1,l=0,r=0;i<=n;i++)
	{
		if(i<=r) exz[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+exz[i]<=n&&s[i+exz[i]]==p[1+exz[i]]) exz[i]++;
		if(i+exz[i]-1>r) l=i,r=i+exz[i]-1;
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin>>s+1>>p+1;
	int lens=strlen(s+1),lenp=strlen(p+1);
	extend_Z(s,p,lens,lenp);
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=lenp;i++)
		ans^=1ll*i*(z[i]+1);
	cout<<ans<<"\n";
	ans=0;
	for(int i=1;i<=lens;i++)
		ans^=1ll*i*(exz[i]+1);
	cout<<ans;
	return 0;

}