最短路图trick

最短路图

这是一个图论的小trick。

对于一些只能在最短路上操作且可能同时存在多条最短路的问题，可以试着采用建最短路图的方法：将最短路径上的边放在一个新的图中，使得问题能够在一个DAG(有向无环图)上操作。

大致的方法是：

若我们需要 \(1-n\) 的最短路图，我们可以先从 \(1\) 开始跑一遍最短路，得到 \(dis1[i]\) ，然后在反图上跑一遍 \(n\) 最短路 \(dis2[i]\) 。然后枚举每条边，若边 \((u,v,w)\) 满足 \(dis1[u]+w+dis2[v]=dis1[n]\) ，那么这条边在最短路图上。

具体实现看例题：

例题：取边方案

题目描述

给你一张有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图，每条边有边权，设 \(disa_i\) 表示这张图中点 \(i\) 到点 \(1\) 的距离。

现在要求你在这张图中删去 \(m-(n-1)\) 条边，使得这张图变成一棵树，设 \(dib_i\) 为这棵树中点 \(i\) 到 点 \(1\) 的最短距离。

现在求解有多少种删边方案，使得对于任意的 \(i\) ，都有 \(disa_i=disb_i\) 。

输入格式

第一行包含两个正整数 \(n,m\) ，表示无向连通图的点数和边数。

接下来有 \(m\) 行，每行有 \(3\) 个正整数 \(u,v,w\) ，表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间有一条边权为 \(w\) 的无向边。

数据保证无重边、无自环。

输出格式

输出一行一个整数，表示满足条件的方案数对 \(2147483647\) 取模的结果。

样例输入

3 3
1 2 2
1 3 1
2 3 1

样例输出

2

样例解释

删去 \(1st\) or \(3rd\) 边都能满足条件。

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由定义我们可以知道，在本题中只要是最短路图的生成树，都是合法的。

所以只需要枚举生成树个数就可以了。

如何高效枚举？

枚举生成树，可以看做给每个点选一个父亲，那么每个点可选的父亲数就是这个点的入度，那么入度之积就是答案了。