联考20200729 T3 树上的鼠

分析：
首先我们从博弈入手，看看什么情况先手必胜
先考虑一条链的情况，假设链长为偶数，即存在中点，先手就可以抢占中点，后手无论怎么走，先手都可以走到其关于中点的对称点上
最后后手无法操作，先手必胜
当链长为奇数时，先手两个中点随便抢一个就可以胜利
换在树上，求出直径中点，非直径上的点可以转化为直径上的，效果等价
那么先手必败当且仅当起点为连通块直径的唯一中点
转化一下问题，即一个连通块使得1不是直径唯一中点，即1的儿子的最深深度仅有一个
考虑DP，\(f_{u,i}\)表示\(u\)为根，深度至多为\(i\)的连通块方案数
这个暴力\(O(n^2)\)DP，发现只与最深深度有关，直接长链剖分优化就好了
统计答案时强行钦定某个儿子最深深度为\(D\)，其余的不超过\(D\)就好了，维护一个前缀和
复杂度\(O(n)\)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>

#define maxn 2000005 
#define MOD 998244353

using namespace std;

inline long long getint()
{
	long long num=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
	while(c>='0'&&c<='9')num=num*10+c-48,c=getchar();
	return num*flag;
}

int n;
vector<int>G[maxn];
int cur,pos[maxn],son[maxn],dpt[maxn],mxd[maxn];
long long f[maxn],g[maxn],h[maxn],sum[maxn],pd[maxn];
int tmp[maxn];

inline void dfs1(int u,int fa)
{
	dpt[u]=dpt[fa]+1,mxd[u]=dpt[u],g[u]=1;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)if(G[u][i]!=fa)
	{
		dfs1(G[u][i],u),mxd[u]=max(mxd[u],mxd[G[u][i]]);
		if(mxd[G[u][i]]>mxd[son[u]])son[u]=G[u][i];
		g[u]=g[u]*(g[G[u][i]]+1)%MOD;
	}
}
inline void dfs2(int u,int fa)
{
	pos[u]=++cur;if(son[u])dfs2(son[u],u);
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)if(G[u][i]!=fa&&G[u][i]!=son[u])dfs2(G[u][i],u);
}

inline void down(int u,int lim)
{
	if(h[u]!=1)
	{
		f[u]=f[u]*h[u]%MOD;
		if(u<lim)h[u+1]=h[u+1]*h[u]%MOD;
		h[u]=1;
	}
}

inline void solve(int u,int p)
{
	f[pos[u]]=h[pos[u]]=sum[pos[u]]=1;
	if(son[u])solve(son[u],u);
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)if(G[u][i]!=p&&G[u][i]!=son[u])
	{
		int v=G[u][i];solve(v,u);
		for(int j=0;j<=mxd[v]-dpt[v];j++)
		{
			int k=j+1;
			down(pos[v]+j,pos[v]+mxd[v]-dpt[v]),sum[pos[v]+j]=((j>0)*sum[pos[v]+j-1]+f[pos[v]+j])%MOD;
			if(u==1)continue;
			down(pos[u]+k,pos[u]+mxd[u]-dpt[u]),sum[pos[u]+k]=(sum[pos[u]+k-1]+f[pos[u]+k])%MOD;
			f[pos[u]+k]=f[pos[u]+k]*((j>0)*sum[pos[v]+j-1]+1)%MOD+f[pos[v]+j]*sum[pos[u]+k-1]%MOD+f[pos[u]+k]*f[pos[v]+j]%MOD;
			f[pos[u]+k]%=MOD;
		}
		if(u==1)continue;
		if(mxd[v]<mxd[u])(h[pos[u]+mxd[v]-dpt[u]+1]*=(sum[pos[v]+mxd[v]-dpt[v]]+1))%=MOD;
	}
}

int main()
{
	n=getint();
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u=getint(),v=getint();
		G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);
	}
	dfs1(1,0),dfs2(1,0);
	solve(1,0);
	for(int i=2;i<=mxd[1];i++)down(i,mxd[1]),sum[i]=(i>2)*sum[i-1]+f[i];
	long long ans=1;
	for(int i=0;i<=n;i++)pd[i]=1,h[i]=1;
	for(int i=0;i<G[1].size();i++)
	{
		int u=G[1][i];
		for(int j=2;j<=mxd[u];j++)
		{
			if(h[j]!=1)pd[j]=pd[j]*h[j]%MOD,h[j+1]=h[j+1]*h[j]%MOD,h[j]=1;
			tmp[pos[u]+j-2]=pd[j-1];
		}
		for(int j=2;j<=mxd[u];j++)pd[j]=pd[j]*(sum[pos[u]+j-2]+1)%MOD;
		if (mxd[u]<n)(h[mxd[u]+1]*=(sum[pos[u]+mxd[u]-2]+1))%=MOD;
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)pd[i]=1,h[i]=1;
	for(int i=G[1].size()-1;~i;i--)
	{
		int u=G[1][i];
		for(int j=2;j<=mxd[u];j++)
		{
			if(h[j]!=1)pd[j]=pd[j]*h[j]%MOD,h[j+1]=h[j+1]*h[j]%MOD,h[j]=1;
			ans+=tmp[pos[u]+j-2]*f[pos[u]+j-2]%MOD*(pd[j]-pd[j-1])%MOD;
		}
		for(int j=2;j<=mxd[u];j++)pd[j]=pd[j]*(sum[pos[u]+j-2]+1)%MOD;
		if(mxd[u]<n)(h[mxd[u]+1]*=(sum[pos[u]+mxd[u]-2]+1))%=MOD;
	}
	printf("%lld\n",((g[1]-ans)%MOD+MOD)%MOD);
}