联考20200729 T2 划愤

分析：
（为什么我这种准退役选手要学这种神仙东西啊2333
考场上直接暴力，暴力都拿不到分。。。
我们先考虑这样一个问题：
n*m的格子上亮着一些灯，两人轮流进行如下操作：
选择一个矩形满足右下角的灯是亮的，将四个角的灯改变状态，无法操作者负

如果这个游戏是一维的，我们选一个亮着的灯的位置\(n\)和前面一个灯翻转，相当于\(n\)个石子里取走一部分
是一个简单的Nim游戏，初始状态所有亮着的灯，他们分别会代表一个子游戏各自独立
现在游戏变成二维，一个位置与某三个位置翻转，这三个位置分别形成三个子游戏
于是数学家们便引入了Nim积，能够很好地表达上面的游戏中每个点的SG计算方式，并从中发掘了一些数学性质使我们加速运算

直接膜拜大佬博客

（相信大家已经学会了\(O(log^2n)\)求某个位置的Nim积了2333
掌握了Nim积的知识回来看这道题
相当于游戏变成\(N\)维，一个位置与某\(2^N-1\)个位置翻转，分别形成\(2^N-1\)个子游戏
二维Nim积\(x\otimes y\)拓展到\(N\)维就是\(a_1\otimes a_2\otimes ...\otimes a_N\)
单个游戏的我们会求了，但是这里有\(N!\)个游戏，暴力不可接受
看看这\(N!\)个游戏的形成方式，感觉跟行列式非常的像
我们知道Nim积和异或运算满足交换律，结合律，分配率
我们把行列式的加法重载为异或，乘法重载为Nim积，发现不会出现错误
至于行列式里面的\(-1\)，由于异或拥有很好地数学性质，其逆运算是他本身，\(-1\)直接可以忽略不计
直接对原矩阵求重载运算后的行列式，就可以得到最终的SG了，不为0则先手胜
现在还有最后一个问题，关于Nim积的逆元
这个我不是很懂，我直接与质数取模乘法类比的（

Nim积运算集合中单位元是1，乘法运算集合中单位元也是1
当\(x,y<2^{2^k}\)时，\(x\otimes y<2^{2^k}\)
相当于\([0,2^{2^k})\)中的数Nim积后结果仍在\([0,2^{2^k})\)中
而\([0,P)\)中的数在模\(P\)意义相乘后结果也在\([0,P)\)中
而模\(P\)意义下\(x^{-1}=x^{P-2}\)
那么Nim积意义下\(x^{-1}=x^{2^{2^k}-2}\)
（不是很懂，但是验证下来是对的，会做的大佬可以评论区大力D我

复杂度\(O(n^3log^2A)\)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>

#define maxn 155
#define maxm (1<<13)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 998244353
#define ull unsigned long long

using namespace std;

inline long long getint()
{
	long long num=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
	while(c>='0'&&c<='9')num=num*10+c-48,c=getchar();
	return num*flag;
}

int n;
ull a[maxn][maxn],f[maxm][maxm],M[10];
bool vis[maxm][maxm];

inline ull mul(ull x,ull y,int p=32)
{
	if(x>y)swap(x,y);
	if(!x||!y)return 0;
	if(x==1)return y;
	if(y<maxm&&vis[x][y])return f[x][y];
	ull A=x>>p;
	ull B=x&((1ull<<p)-1);
	ull P=y>>p;
	ull Q=y&((1ull<<p)-1);
	ull ap=mul(mul(A,P,p>>1),1ull<<p>>1,p>>1),bq=mul(B,Q,p>>1);
	ull ret=ap^bq^((mul(A^B,P^Q,p>>1)^bq)<<p);
	if(y<maxm)vis[x][y]=1,f[x][y]=ret;
	return ret;
}

inline ull ksm(ull num,ull k)
{
	ull ret=1;
	for(;k;k>>=1,num=mul(num,num))if(k&1)ret=mul(ret,num);
	return ret;
}

inline ull getinv(ull x)
{
	ull tmp;
	for(int i=0;i<=5;i++)
		if(x>=M[i])tmp=M[i];
		else{tmp=M[i];break;}
	return ksm(x,tmp-2);
}

int main()
{
	ull k=1;M[0]=2;
	for(int i=1;i<=8;i++)
	{
		k=k+k,M[i]=1;
		for(int j=1;j<=k;j++)M[i]=M[i]+M[i];
	}
	n=getint();
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>a[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int id=0;
		for(int j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){id=j;break;}
		if(!id)continue;
		for(int j=i;j<=n;j++)swap(a[i][j],a[id][j]);
		ull Inv=getinv(a[i][i]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i]!=0)
		{
			ull tmp=mul(a[j][i],Inv);
			for(int k=i;k<=n;k++)a[j][k]^=mul(a[i][k],tmp);
		}
	}
	ull ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=mul(ans,a[i][i]);
	if(ans)printf("xiaoDyingle\n");
	else printf("xiaoDwandanle\n");
}