联考20200723 T1 数

分析：

题解看不懂，同机房究极巨佬给了另一种做法
直接开始化式子：

\[Ans_m \]

\[=\sum_{i=0}^{n}a_i\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom{m}{j}\binom{n-m}{i-j} \]

\[=\sum_{i=0}^{n}a_i[x^i]((1+x)^{n-m}(1-x)^m) \]

\[=\sum_{i=0}^{n}a_i[x^i]((1+x)^{n-m}(2-(1+x))^m) \]

\[=\sum_{i=0}^{n}a_i[x^i](\sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}2^j\binom{m}{j}(1+x)^{n-j}) \]

\[=\sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}2^j\binom{m}{j}\sum_{i=0}^{n}a_i[x^i](1+x)^{n-j} \]

\[=\sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}2^j\binom{m}{j}\sum_{i=0}^{n-j}a_i[x^i](1+x)^{n-j} \]

\[=\sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}2^j\binom{m}{j}\sum_{i=0}^{n-j}a_i\binom{n-j}{i} \]

全程只需使用二项式定理
扑通扑通跪下来
后面这个\(F_{n-j}=\sum_{i=0}^{n-j}a_i\binom{n-j}{i}\)是卷积的形式，用一次NTT快速求出所有\(F\)
变成：

\[Ans_m=\sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}2^jF_{n-j} \]

又是一个卷积的形式，再次使用NTT快速求出所有\(Ans\)
（日常被开除人籍系列）
复杂度\(O(nlogn)\)
OJ很慢（自己人菜常数大），\(10^6\)卡不过去（悲）

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>

#define maxn 2500005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 998244353

using namespace std;

inline long long getint()
{
	long long num=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
	while(c>='0'&&c<='9')num=num*10+c-48,c=getchar();
	return num*flag;
}

int n;
int A[maxn],B[maxn],F[maxn];
int rev[maxn];
int a[maxn],S,M,BB;
int Wl,Wl2,w[maxn];
int fac[maxn],inv[maxn],pw2[maxn];
unsigned int Ans,pw[maxn];

inline int upd(int x){return x<MOD?x:x-MOD;}
inline int ksm(int num,int k)
{
	int ret=1;
	for(;k;k>>=1,num=1ll*num*num%MOD)if(k&1)ret=1ll*ret*num%MOD;
	return ret;
}

inline void init(int N)
{
	Wl=w[0]=1;
	while((Wl<<1)<=N)Wl<<=1;
	w[1]=ksm(3,(MOD-1)/(Wl<<1)),Wl2=Wl<<1;
	for(int i=2;i<=Wl2;i++)w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%MOD;
}
inline void NTT(int *a,int N,int opt)
{
	for(int i=0;i<N;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1,B=Wl;i<N;i<<=1,B>>=1)
		for(int j=0,t=i<<1;j<N;j+=t)for(int k=0,x=0;k<i;k++,x+=B)
		{
			int v=1ll*a[i+j+k]*w[opt==1?x:Wl2-x]%MOD;
			a[i+j+k]=upd(a[j+k]-v+MOD),a[j+k]=upd(a[j+k]+v);
		}
	if(!~opt)for(int i=0,Inv=ksm(N,MOD-2);i<N;i++)a[i]=1ll*a[i]*Inv%MOD;
}

inline int C(int p,int q)
{return 1ll*fac[p]*inv[q]%MOD*inv[p-q]%MOD;}

int main()
{
	n=getint(),a[0]=getint(),S=getint(),M=getint(),BB=getint();
	init(2*n);pw[0]=pw2[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*1000000007,pw2[i]=upd(pw2[i-1]+pw2[i-1]);
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=(1ll*(a[i-1]^S)*M+BB)%MOD;
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%MOD;
	int len=1;
	while(len<=2*n)len<<=1;
	for(int i=0;i<len;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?len>>1:0);
	for(int i=0;i<=n;i++)A[i]=1ll*a[i]*inv[i]%MOD,B[i]=inv[i];
	NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	NTT(A,len,-1);
	for(int i=0;i<=n;i++)F[i]=1ll*A[i]*fac[i]%MOD;
	for(int i=0;i<len;i++)A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)A[i]=1ll*pw2[i]*inv[i]%MOD*F[n-i]%MOD,B[i]=i&1?MOD-inv[i]:inv[i];
	NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	NTT(A,len,-1);
	for(int i=0;i<=n;i++)F[i]=1ll*A[i]*fac[i]%MOD;
	for(int i=0;i<=n;i++)Ans+=((unsigned int)F[i])*pw[i];
	cout<<Ans<<endl;
}