联考20200719 T1 合并奶牛

分析：
首先考虑\(dp\)，设\(f_{i,j}\)表示\(A\)用了前\(i\)个，\(B\)用了前\(j\)个的方案数
先给出式子：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1}-\sum_{A_{i-k...i}==B_{j-k...j}}f_{i-k-1,j-k-1}Cat_{k} \]

求和下面的条件是\(A\)和\(B\)的某一段相同，\(Cat\)是卡特兰数
如果没有同样的颜色，不用后面的求和，算出来的答案就是正确的，但是有了同样的颜色，前面的会算重
后面的求和相当于两个相同的长度为\(k+1\)的序列能排出多少种不同的序列
想象成在\((k+1)*(k+1)\)的格子的轮廓线上走，选一个\(A\)就向右走一步，选一个\(B\)就向下走一步
假设其中一条路径是这样：

我们沿对角线翻折：

红色路径翻折后得到的橙色路径形成的字符串是相同的
本来的路径数是\(\binom{2k+2}{k+1}\)，形成的本质不同的字符串为\(Cat_{k+1}\)种
所以多出来的为\(\binom{2k+2}{k+1}-Cat_{k+1}=Cat_k\)种
总复杂的\(O(n^2)\)
（数据很水，后面的求和不乘卡特兰数的系数有90分，我的k++写成了k--有50分23333
（只有一半的数据最长公共子串长度大于1？？只有一个点最长公共子串长度大于2？？看来数据是随机的2333

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>

#define maxn 2005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 998244353

using namespace std;

inline int getint()
{
	int num=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
	while(c>='0'&&c<='9')num=num*10+c-48,c=getchar();
	return num*flag;
}

int n;
int f[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn],Cat[maxn];

int main()
{
	n=getint();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=getint();
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=getint();
	Cat[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<i;j++)Cat[i]=(Cat[i]+1ll*Cat[j]*Cat[i-j-1])%MOD;
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)
	{
		if(i)f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j])%MOD;
		if(j)f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j-1])%MOD;
		int k=0;
		while(i-k>0&&j-k>0&&a[i-k]==b[j-k])f[i][j]=(f[i][j]-1ll*f[i-k-1][j-k-1]*Cat[k]%MOD+MOD)%MOD,k++;
	}
	printf("%d\n",f[n][n]);
}