模拟赛T2 仙人掌毒题

分析：
我们首先知道这样一个公式：
对于树：连通块=点-边
对于仙人掌：连通块=点-边+环
考虑期望的线性性：
连通块期望=点期望-边期望+环期望

对于点：
一个点T次标记后还为0的概率为\((\frac{n-1}{n})^T\)，为1就是\(1-(\frac{n-1}{n})^T\)
乘上系数n就是点期望

对于边：
一条边两边点都是0的概率为\((\frac{n-2}{n})^T\)
为1要容斥一下，概率为\(1-2(\frac{n-1}{n})^T+(\frac{n-2}{n})^T\)

然后就是重头戏
我们要维护仙人掌并讨论环：
一个大小为m的环中所有点为0的概率为\((\frac{n-m}{n})^T\)
为1的概率要进行容斥：
\(ans=\sum_{i=0}^{m}(-1)^iC_{m}^{i}(\frac{n-i}{n})^T\)
没必要什么花里胡哨NTT，暴力O(m)算平摊下来复杂度也只有O(n)，因为每条边只会存在于一个环中

然后就是维护仙人掌
喜 闻 乐 见的LCT维护圆方树
每次看链上的边是否已被一条额外边覆盖就好了

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>

#define maxn 200005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 998244353

using namespace std;

inline long long getint()
{
	long long num=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
	while(c>='0'&&c<='9')num=num*10+c-48,c=getchar();
	return num*flag;
}

long long n,m,T,W,tot,invn;
long long fac[maxn],inv[maxn];
int sum[maxn],ch[maxn][2],fa[maxn],rev[maxn],stag[maxn],tag[maxn];
int stk[maxn],tp;
long long P,E,Cir;
int Q[maxn],sz;

inline long long C(long long p,long long q)
{return fac[p]*inv[q]%MOD*inv[p-q]%MOD;}

inline long long ksm(long long num,long long k)
{
	long long ret=1;
	for(;k;k>>=1,num=num*num%MOD)if(k&1)ret=ret*num%MOD;
	return ret;
}

inline bool isroot(int x)
{return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}

inline void pushup(int x)
{stag[x]=stag[ch[x][0]]|stag[ch[x][1]]|tag[x];}

inline void rv(int x)
{rev[x]^=1,swap(ch[x][0],ch[x][1]);}

inline void pushdown(int x)
{if(rev[x])rev[x]=0,rv(ch[x][0]),rv(ch[x][1]);}

inline void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=(ch[fa[x]][1]==x);
	ch[y][z]=ch[x][z^1];
	if(ch[x][z^1])fa[ch[x][z^1]]=y;
	if(!isroot(y))ch[fa[y]][ch[fa[y]][1]==y]=x;
	fa[x]=fa[y];
	fa[y]=x;
	ch[x][z^1]=y;
	pushup(y);
}

inline void splay(int x)
{
	int tmp=x;
	while(!isroot(tmp))stk[++tp]=tmp,tmp=fa[tmp];
	stk[++tp]=tmp;
	while(tp)pushdown(stk[tp--]);
	while(!isroot(x))
	{
		if(!isroot(fa[x]))
		{
			if((ch[fa[x]][1]==x)==(ch[fa[fa[x]]][1]==fa[x]))rotate(fa[x]);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
}

inline void access(int x)
{for(int u=0;x;u=x,x=fa[x])splay(x),ch[x][1]=u,pushup(x);}

inline void makeroot(int x){access(x),splay(x),rv(x);}

inline void link(int x,int y)
{makeroot(x),access(x),splay(x),fa[x]=y;}

inline void cut(int x, int y)
{
	makeroot(x),access(y),splay(y);
	ch[y][0]=0,fa[x]=0,pushup(y);
}

inline bool check(int x,int y)
{
	makeroot(x),splay(x),access(y),splay(y);
	return !isroot(x);
}

inline void solve(int x)
{
	if(!x)return;
	pushdown(x);
	solve(ch[x][0]),Q[++sz]=x,solve(ch[x][1]);
}

inline long long calc(int sz)
{
	long long ret=0;
	for(int i=0;i<=sz;i++)
		(ret+=((i&1)?MOD-1:1)*C(sz,i)%MOD*ksm((n-i)*invn%MOD,T))%=MOD;
	return ret;
}

int main()
{
	n=getint(),m=getint(),T=getint(),W=getint();
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<maxn;i++)inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=2;i<maxn;i++)inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%MOD;
	invn=ksm(n,MOD-2),tot=n;
	P=W?n:n*ksm((n-1)*invn%MOD,T)%MOD;
	while(m--)
	{
		int u=getint(),v=getint();
		int p=0;
		if(check(u,v))
		{
			makeroot(u),access(v),splay(v);
			if(!stag[v])
			{
				sz=0;solve(v);
				(Cir+=ksm((n-sz)*invn%MOD,T))%=MOD;
				if(W)(Cir+=calc(sz))%=MOD;
				tot++;
				tag[tot]=1;
				pushup(tot);
				for(int i=1;i<sz;i++)cut(Q[i],Q[i+1]),link(Q[i],tot);
                link(Q[sz],tot);
			}
			else p=1;
		}
		else link(u,v);
		if(!p)
		{
			(E+=ksm((n-2)*invn%MOD,T))%=MOD;
			if(W)(E+=1-2*ksm((n-1)*invn%MOD,T)%MOD+ksm((n-2)*invn%MOD,T)+MOD)%=MOD;
		}
		printf("%lld\n",(P-E+Cir+MOD)%MOD);
	}
}