统计假设检验

统计假设检验可分为参数假设检验和非参数假设检验两大部分。

当总体分布形式已知，检验的目的是对总体的参数及其性质作出判断，则称这种检验为参数假设检验。

若总体分布形式未知，需对总体分布函数形式或总体之间的关系进行推断，则称为非参数假设检验。

显著性检验：先提出假设，然后作出否定或者不否定的判断，称为显著性检验。

一、检验法则

有两个对立的假设，其中\(H_0\)称为原假设（零假设）;\(H_1\)称为备择假设（对立假设）。

要检验总体均值\(\mu\)，实际上可转化为检验样本均值\(\overline{X}\)，因为\(\overline{X}\)的观察值\(\overline{x}\)的大小在一定程度上反映了的\(\mu\)大小。如果\(H_0\)成立，则\(\mid \overline{x}-\mu_0 \mid\)一般不应太大，如果\(\mid \overline{x}-\mu_0 \mid\)过分大，则可怀疑\(H_0\)的正确性从而拒绝\(H_0\)，反之则接受\(H_0\)。

又考虑到当\(H_0\)成立时，统计量 $\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $ ~ $ N(0,1)$，这样衡量 \(\mid \overline{x} - \mu_0 \mid\) 的大小就可等价地归结为衡量 $\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $ 的大小，由此我们可选定一正数\(k\)，使得当\(\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} \geq k\)时，就拒绝\(H_0\)，当\(\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} < k\)时，就接受\(H_0\)。

由于\(\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} ​\) ~ $ N(0,1)​$，根据标准正态分布分位点定义可得：

\[P \lbrace \frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq k \mid H_0为真 \rbrace = P \lbrace \frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq u_{1-\frac{\alpha}{2}} \mid H_0为真 \rbrace = \alpha​ \]

这样，我们就得到如下检验法则：

若\(\frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq u_{1-\frac{\alpha}{2}}\)，则拒绝\(H_0\)；

若\(\frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} < u_{1-\frac{\alpha}{2}}\)，则接受\(H_0\)。

于是，$\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $就成了检验统计量。

当然，这只是讨论了正态总体参数的假设检验问题，对于其他假设检验，虽然检验统计量不同，但其检验法则、基本思路一样。

二、两类错误

（一）第I类错误

当\(H_0\)为真时，我们却作出了拒绝\(H_0\)的判断，这个时候我们就犯了第I类错误，又称为“弃真”。即在原假设成立的情况下拒绝了原假设，从而把正确的内容当作错误的内容抛弃了。

犯第I类错误的概率为：\(P \lbrace 拒绝H_0 \mid H_0为真 \rbrace = \alpha\)

这里，\(\alpha\)为显著性水平。

（二）第II类错误

当\(H_0\)不成立时，却接受\(H_0\)了，我们称这类错误为第II类错误，又称为“取伪”。

犯第II类错误的概率为：\(P \lbrace 接受H_0 \mid H_0为假 \rbrace = \beta\)

现实中\(\alpha\)、\(beta\)的值不可能同时小，也就是说，在样本容量给定的情况下，如果减少犯第I类错误的概率，就可能增加犯第II类错误的概率。由于第I类错误相对于第II类错误导致的后果更为严重，因此现实中的做法通常是对犯第I类错误的概率加以控制，然后再适当考虑犯第II类错误的概率。

我们把这种只对犯第I类错误的概率加以控制，而不考虑犯第II类错误的检验问题，称为显著性检验问题。

三、基本方法

参数假设检验通常采用\(\mu\)检验法、\(t\)检验法、\(F\)检验法、\(\chi^2\)检验法等；

非参数假设检验通常采用皮尔逊拟合检验、魏氏检验、麦氏检验法。

（一）参数假设检验法

参数假设检验法具体包括正态总体参数检验和非正态总体参数检验。

1、正态总体参数检验

对于正态总体，其参数无非是两个：\(\mu\)和\(\sigma^2\)。如果加上两个正态总体的参数一块比较，也只有四种情形：①关于\(\mu\)的检验；②关于\(\sigma^2\)的检验；③关于\(\mu_1-\mu_2\)的检验；④关于\(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\)的检验。

（1）\(\mu\)检验

\(\mu\)检验适用于在方差已知的情况下，对期望值\(\mu\)的检验（包括单总体和多总体）。

a.在单个正态总体情况下，适用检验统计量：

\(\mu = \frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}}\)~\(N(0,1)\)

b.在两个正态总体情况下，设\(x_1,x_2,\ldots,x_{n_1}\),为出自\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)的样本，\(y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\)为出自\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的样本，\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)已知，且样本之间相互独立。则适用统计量为：

\(\mu = \frac{\overline{x} - \overline{y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\) ~ \(N(0,1)\)

另外，对总体百分数的检验一般也采用检验法进行，其适用统计量为：

\[\mu = \frac{p_x-p_{\mu}}{\sqrt{\frac{p_{\mu}(1-p_{\mu})}{n}}} \]

其中，\(p_x\)为样本百分数，\(p_{\mu}\)为总体百分数。

（2）\(t\)检验

\(t\)检验适用于当方差未知时对期望值\(\mu\)的检验。总体可以是单总体，也可以是双总体。但如果是双总体，它们之间的样本必须是独立的。

a.对于单总体，适用检验统计量为：
\(t= \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(t(n-1)\)
b.对于双总体，可分为两种情况进行讨论。

第一种情况是，\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)未知，但\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)。此时可选择检验统计量：
\(t= \frac{\overline{x} -\overline{y}}{s_{\omega} \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)~\(t(n_1+n_2-2)\)

第二种情况是，\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)未知，但\(n_1=n_2=n\)。此时可考虑采用配对检验法，具体方法如下：

令：\(d_i=x_i-y_i(i=1,2,\ldots,n)\)，并假定\(d_1,d_2,\ldots,d_n\)分别是来自正态总体\(N(\mu_d,\sigma^2)\)的样本。\(\mu_d,\sigma^2\)均未知，\(\overline{d}\)与\(s^2\)分别是\(d_1,d_2,\ldots,d_n\)的样本均值和样本方差。若进行双边检验，可令\(H_0:\mu_d=0,H_1:\mu_d \neq 0\)。

此时可选择\(t= \frac{\overline{d}-0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)作为检验统计量，其拒绝域为：

\[c_1= \lbrace t \mid \mid t \mid \geq t_{1-\alpha}(n-1) \rbrace \]

（3）\(\chi^2\)检验

\(\chi^2\)检验主要用于对方差\(\sigma^2\)的检验，且适用于单参数情形。

a.\(\mu\)未知

设\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)为\(N(\mu,\sigma^2)\)的一个样本，考虑假设：
①\(H_0:\sigma^2 = \sigma_0^2, H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2\)
②\(H_0:\sigma^2 \leq \sigma_0^2, H_1:\sigma^2 > sigma_0^2\)
适用检验统计量为：
\(\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\)~\(\chi^2(n-1)\)

b.\(\mu\)已知

适用于检验统计量为：

\(\chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}{\sigma_0^2}\)~\(\chi^2(n)\)

(4)\(F\)检验

\(F\)检验也是用于对方差的检验，不同的是，\(F\)检验往往用于两参数情形。

设\(x_1,x_2,\ldots,x_{n_1}\)和\(y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\)分别为出自\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)和\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的样本，且样本之间独立。考虑假设：
①\(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2, H_1:\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\)
②\(H_0:\sigma_1^2 \leq \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2\)

适用检验统计量为：
\(F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\)~\(F(n_1-1,n_2-1)\)

2、非正态总体参数检验

非正态总体的抽样分布不易求出，求检验统计量及其分布就很困难了，因此除一些特殊例子外，非正态总体参数的假设检验常采用大样本方法。大样本一般要求\(n \geq 30\)，最好\(n \geq 50\)。

设\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)是总体\(X\)的样本，\(X\)~\(N(\mu,\sigma^2 )\)，\(n\)足够大。要检验的假设有：

（1）\(H_0:\mu=\mu_0, H_1:\mu \neq \mu_0\)

（2）\(H_0:\mu \geq \mu_0, H_1:\mu < \mu_0\)

（3）\(H_0:\mu \leq \mu_0, H_1:\mu > \mu_0\)

由于\(X\)不是正态分布，故求出其检验统计量及其分布比较困难，但当\(n\)足够大且\(H_0\)成立时，根据中心极限定理，有：
\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

在具体选择检验统计量时，可分两种情况讨论：

（1）当\(\sigma^2\)已知时，可选择检验统计量：

\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

（2）当\(\sigma^2\)未知时，可选择检验统计量：

\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

（二）非参数检验法

1、皮尔逊\(\chi^2\)拟合检验法

2、魏氏（Wilcoxon）检验

3、麦氏（McNehmar）检验

参考文献：
[1] 《统计学》第二版. 2010. 游士兵