G8、G12、G16、G18、G20、G24、G30、G32、G36、G48、G60

Lagrange群：包括有限Abel群和部分有限Abel群，是使Lagrange定理之逆成立的有限群。

正多面体只有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
于是有正四面体群T=A_4（12阶）、正六（八）面体群O=S_4=PGL(2,3)（24阶）、正十二（二十）面体群I=A_5（60阶）等三种群。

四元数群或双循环群（Dicyclic group）：Q_(4n)=<a,b|a^(2n)=1,a^n=b^2,b^(-1)ab=a^(-1)>
正多边形的重合运动群叫做二面体群（Dihedral group）：D_(2n)=<a,b|a^n=b^2=1,b^(-1)ab=a^(-1)>。2p阶非阿贝尔群（p是奇素数）同构于正p边形对称群D_p。

定义：若G'是群G的子群，对任意a∈G有aG'=G'a，即左陪集等于右陪集，则称G'是G的正规子群。
注意，正规子群的定义并不要求对a∈G'有ag=ga，而只要求左陪集和右陪集作为集合是相重合的。
正规子群可能是Abel的，也可能是非Abel的。
例如：群的中心是Abel的；因为D_3×C_2=D_6，所以D_6中存在分别同构于D_3、C_2的正规子群，D_6/C_2=D_3是一个非Abel商群。

如果群G只有平凡的正规子群，则称G为单群；
如果群G是单群或者虽有非平凡的正规子群但都是非交换的，则称G为半单群。
群G是单群的一个必要不充分条件是G不能表成两个群的直积。
如果一个群G可以表成几个单群的直积，其中没有一个是Abel群，则G是一个半单群。

C_m与C_n的直积、半直积
(I,J)的编号为n*(I-1)+(J-1)+1，这里1<=I<=m，1<=J<=n
直积的乘法表为：(x1,y1)×(x2,y2)=(x1*x2,y1+y2)，显然幺元是(1,1)=1
半直积的乘法表为：(x1,y1):(x2,y2)=(x1*(φ(y1)(x2)),y1+y2)，显然幺元是(1,1)=1
这里φ(y1)是群N的一个自同构，(φ(y1)(x2))是群N中的一个群元，当φ为平凡同态时，(φ(y1)(x2))=x2
20140616
n=2时，(x1,y1):(x2,y2)=(x1*(φ(y1)(x2)),y1+y2)=(x1*((x2)^-1),y1+y2),y1=2!=1时；=(x1*(φ(y1)(x2)),y1+y2)=(x1*x2,y1+y2),y1=1!=2时；
群同态φ:C_2->Aut(C_3)=C_2
平凡同态φ1
I->I,r,rr
f->I,r,rr
非平凡同态φ2
I->I,r,rr
f->I,rr,r
3阶群
I
r
rr
2阶群
I
f
直积群C_6
(I,I)=1,1阶元
(I,f)=2,2阶元
(r,I)=3,3阶元
(r,f)=4,6阶元
(rr,I)=5,3阶元
(rr,f)=6,6阶元
半直积群C_3:C_2
(I,I)=1,
(I,f)=2,
(r,I)=3,
(r,f)=4,
(rr,I)=5,
(rr,f)=6,

2种4阶群：GAP[4,2]=GO(1,2,3)=U(8)={[1]_8,[3]_8,[5]_8,[7]_8}=K_4≠C_4=GAP[4,1]
2种6阶群：GAP[6,1]=GL(2,2)=SL(2,2)=Sp(2,2)=O_3(F_2)、GAP[6,2]=GL(2,7)/SL(2,7)=(F_7)^×=C_6

D3有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，0个6阶元
C6有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个6阶元
有2n个元素的二面体群D_n同构于循环群C_n和C_2的半直积。
这里，C_2的非单位元作用于C_n，将元素变成其逆；这是一个自同构，因为C_n是交换群。

2*2的6阶矩阵群D_3={I,r,rr,f,fr,frr}
1——{{1,0},{0,1}}
2——{{1,0},{0,-1}}
3——{{-1/2,sqrt(3)/2},{sqrt(3)/2,1/2}}
4——{{-1/2,-sqrt(3)/2},{-sqrt(3)/2,1/2}}
5——{{-1/2,sqrt(3)/2},{-sqrt(3)/2,-1/2}}
6——{{-1/2,-sqrt(3)/2},{sqrt(3)/2,-1/2}}

结论1：Q_8和D_4都是秩为2的非Abel幂零群。
rank(Q_8)=2
rank(D_4)=2
8阶群定理：5种8阶群与它们的群元阶的分布一一对应[ 1, 2, 4, 8 ]
GAP4[8,1]：1,1,2,4,
GAP4[8,2]：1,3,4,0,
GAP4[8,3]：1,5,2,0,
GAP4[8,4]：1,1,6,0,
GAP4[8,5]：1,7,0,0,
GAP4[ 8, 1 ]=C_8,
GAP4[ 8, 2 ]=C_2+C_4或者C_2×C_4=U(15)=U(3)×U(5)
GAP4[ 8, 3 ]=D_4=O_2(F_3)=GO(-1,2,3)
GAP4[ 8, 4 ]=Q_8=<a,b|a^4=1,a^2=b^2,b^(-1)ab=a^(-1)>,D(SL(2,3))=Q_8
GAP4[ 8, 5 ]=C_2×C_2×C_2或者C_2+C_2+C_2

编号 GAP 序列号性质指数中心 G/[G,G] 共轭类子群子群类正规子群
1 1 循环 8 C8 C8 8 -- -- --
2 2 阿贝尔 4 C2×C4 C2×C4 8 -- -- --
3 5 阿贝尔 2 C23 C23 8 -- -- --
4 4 幂零 4 C2 C22 5 6 6 6
5 3 幂零 4 C2 C22 5 10 8 6

定理：C_m×C_n是循环群C_m×n的充要条件是(m,n)=1。----群论与初等数论的联系
12阶群定理：5种12阶群与它们的群元阶的分布一一对应[ 1, 2, 3, 4, 6,12]
GAP4[12,1]：1,1,2,6,2,0,
GAP4[12,2]：1,1,2,2,2,4,
GAP4[12,3]：1,3,8,0,0,0,
GAP4[12,4]：1,7,2,0,2,0,
GAP4[12,5]：1,3,2,0,6,0,
GAP4[ 12, 5 ]=AbelianGroup({2,2,3}=AbelianGroup({2,6}=C_3×K_4，
GAP4[ 12, 2 ]=Z_12=Z_4+Z_3，
GAP4[ 12, 4 ]=D_6=D_3×C_2=D_12=GO(1,2,7)，12阶群D_6同构于12阶群D_3×C_2，是12阶非交换Lagrange群，非哈密顿。

D6=C_6:C_2有1个1阶元，7个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，2个6阶元，0个12阶元

GAP4[ 12, 3 ]=正四面体群A_4=PSL(2,3)是最小非Lagrange群非交换（12阶非阿贝尔非哈密顿群非拉格朗日群），没有6阶的子群，非哈密顿,PZ(SL(2,3))=PSL(2,3)=A_4
GAP4[ 12, 1 ]=Dic_3=Q_12=<a,b|a^6=1,b^2=a^3,ba=a^(-1)b>是12阶非交换Lagrange群，非哈密顿

gap> for n in [1..5] do g:=SmallGroup(12,n);;gid:=StructureDescription(g);Print(gid,"是否超可解：",IsSupersolvableGroup(g));s:=Elements(g);;sl2:=SylowSubgroup(g,2);;Print(IdGroup(sl2),IsSubnormal(g,sl2));sl3:=SylowSubgroup(g,3);;Print(IdGroup(sl3),IsSubnormal(g,sl3),"\n");od;
C3 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true
C12是否超可解：true[ 4, 1 ]true[ 3, 1 ]true
A4是否超可解：false[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]false
D12是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true
C6 x C2是否超可解：true[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]true

结论1：D_6、A_4和Q_12都是秩为2的非幂零可解群。
rank(D_6)=2
rank(A_4)=2
rank(Q_12)=2

3*3的12阶矩阵群A_4
1——{{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}
2——{{1,0,0},{0,-1,0},{0,0,-1}}
3——{{-1,0,0},{0,1,0},{0,0,-1}}
4——{{-1,0,0},{0,-1,0},{0,0,1}}
5——{{0,1,0},{0,0,1},{1,0,0}}
6——{{0,1,0},{0,0,-1},{-1,0,0}}
7——{{0,-1,0},{0,0,1},{-1,0,0}}
8——{{0,-1,0},{0,0,-1},{1,0,0}}
9——{{0,0,1},{1,0,0},{0,1,0}}
10——{{0,0,1},{-1,0,0},{0,-1,0}}
11——{{0,0,-1},{1,0,0},{0,-1,0}}
12——{{0,0,-1},{-1,0,0},{0,1,0}}

2种10阶群：
GAP4[10,2]=G10_1=C_10有1个1阶元，1个2阶元，4个5阶元，4个10阶元
GAP4[10,1]=G10_2=D_5有1个1阶元，5个2阶元，4个5阶元，0个10阶元
5种20阶群：
GAP4[20,2]=G20_1=C_20有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，8个20阶元
GAP4[20,5]=G20_2=C_2×C_2×C_5有1个1阶元，3个2阶元，0个4阶元，4个5阶元，12个10阶元，0个20阶元
GAP4[20,1]=G20_3=Q_20有1个1阶元，1个2阶元，10个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，0个20阶元
GAP4[20,3]=G20_4=F_20(Frobenius group F_20)有1个1阶元，5个2阶元，10个4阶元，4个5阶元，0个10阶元，0个20阶元
GAP4[20,4]=G20_5=D_10=D_5×C_2有1个1阶元，11个2阶元，0个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，0个20阶元
4种30阶群：
GAP4[30,4]=G30_1=C_30有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，8个15阶元，8个30阶元
GAP4[30,1]=G30_2=D_3×C_5有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，0个6阶元，12个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GAP4[30,2]=G30_3=D_5×C_3有1个1阶元，5个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，10个6阶元，0个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GAP4[30,3]=G30_4=D_15有1个1阶元，15个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，0个6阶元，0个10阶元，8个15阶元，0个30阶元

5种18阶群：
G18_1=C_18有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个6阶元，6个9阶元，6个18阶元
gap> G:=CyclicGroup(18);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,6,9,18];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 18 with 3 generators>
[ 18, 2 ]
[ 1, 18, 9, 3, 6, 18, 9, 9, 3, 18, 2, 18, 9, 9, 18, 6, 9, 18 ]
[ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ]
1,1,2,2,6,6,
G18_2=C_2×C_3×C_3有1个1阶元，1个2阶元，8个3阶元，8个6阶元，0个9阶元，0个18阶元
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(6),CyclicGroup(3));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,6,9,18];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 18 with 3 generators>
[ 18, 5 ]
[ 1, 6, 3, 3, 2, 6, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 3, 3, 6, 6, 3, 6 ]
[ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ]
1,1,8,8,0,0,
G18_3=D_9=<a,b|a^9=b^2=1,bab^-1=a^8>有1个1阶元，9个2阶元，2个3阶元，0个6阶元，6个9阶元，0个18阶元
gap> G:=DihedralGroup(18);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,6,9,18];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 18 with 3 generators>
[ 18, 1 ]
[ 1, 2, 9, 3, 2, 2, 9, 9, 3, 2, 2, 2, 9, 9, 2, 2, 9, 2 ]
[ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ]
1,9,2,0,6,0,
G18_4=S_3×C_3有1个1阶元，3个2阶元，8个3阶元，6个6阶元，0个9阶元，0个18阶元
gap> G:=DirectProduct(SymmetricGroup(3),CyclicGroup(3));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,6,9,18];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<group of size 18 with 3 generators>
[ 18, 3 ]
[ 1, 3, 3, 2, 6, 6, 2, 6, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 6, 6 ]
[ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ]
1,3,8,6,0,0,
G18_5=(C_3×C_3):C_2有1个1阶元，9个2阶元，8个3阶元，0个6阶元，0个9阶元，0个18阶元
gap> G:=SmallGroup(18,4);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,6,9,18];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 18 with 3 generators>
[ 18, 4 ]
[ 1, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2 ]
[ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ]
1,9,8,0,0,0,

编号 GAP 序列号性质指数中心 G/[G,G] 共轭类子群子群类正规子群
1 2 循环 18 C2×C9 C2×C9 18 -- -- --
2 5 阿贝尔 6 C2×C32 C2×C32 18 -- -- --
3 1 两面体 18 1 C2 6 16 6 4
4 4 可解 6 1 C2 6 28 12 7
5 3 可解 6 C3 C2×C3 9 14 9 6

共有14个不同的16阶群，其中交换群有5个（K_4⊕C_4=U40=U48≠K_4⊕K_4≠C_8⊕C_2=U32≠C_4⊕C_4），其余9个为非交换群。
结论1：9种16阶非Abel群都是幂零群。
结论2：5种16阶Abel群的指数分别是2、4、4、8、16：C_2×C_2×C_2×C_2、C_4×C_4、C_2×C_2×C_4、C_2×C_8、C_16；
9种16阶非Abel群的指数分别是4、4、4、4、4、8、8、8、8：V(4,2)、H(4,4)、D_4×C_2、Q_8×C_2、P，M_16、D_8、QD_16、Q_16。
20151101：(Z/nZ)^*不可能是GAP4[16,14]=E_16、GAP4[16,2]=C_4×C_4。或者说对任意n，(Z/nZ)^*≠E_16、C_4×C_4。
gap> n:=16;;for i in [n..500] do Ui:=Units(Integers mod i);;gid:=IdGroup(Ui);if n=gid[1] then Print(i,":",gid,"\n");fi;od;
17:[ 16, 1 ]
GAP4[16,1]=G16_1=C_16
32:[ 16, 5 ]
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8=U32有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
34:[ 16, 1 ]
40:[ 16, 10 ]
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4=U40=U48有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
48:[ 16, 10 ]
60:[ 16, 10 ]
注意：16阶Abel群G16_4和16阶非Abel群G16_6、G16_14有相同的群元阶数分布，16阶Abel群G16_2和16阶非Abel群G16_7、G16_13，16阶Abel群G16_3和16阶非Abel群G16_8有相同的群元阶数分布，但这3组16阶群显然不同构
GAP4[16,1]=G16_1=C_16有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元
GAP4[16,2]=G16_2=C_4×C_4有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,14]=G16_5=C_2×C_2×C_2×C_2有1个1阶元，15个2阶元，0个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,3]=Rank=2非Abel幂零群G16_6=K8C2=V(4,2)【这里的K8C2是指(C_4×C_2)与C_2的某种半直积。】有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,4]=Rank=2非Abel幂零群G16_7=C4C4=H(4,4)有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,6]=G16_8=M_16有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,7]=G16_9=O(2,7)=D_8=<a,x|a^8=x^2=e,xax^(-1)=a^-1>有1个1阶元，9个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,8]=G16_10=QD_16有1个1阶元，5个2阶元，6个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,9]=G16_11=Q_16有1个1阶元，1个2阶元，10个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,11]=G16_12=D_4×C_2有1个1阶元，11个2阶元，4个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,12]=Rank=3非Abel幂零群G16_13=Q_8×C_2有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,13]=Rank=3非Abel幂零群G16_14=Cb8C2=P【GL(2,C)和SU(2)的16阶子群Pauli groupbU=1,bO=0】
有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
编号 GAP 序列号性质指数中心 G/[G,G] 共轭类子群子群类正规子群
1 1 循环 16 C16 C16 16 -- -- --
2 5 阿贝尔 8 C2×C8 C2×C8 16 -- -- --
3 2 阿贝尔 4 C42 C42 16 -- -- --
4 10 阿贝尔 4 C22×C4 C22×C4 16 -- -- --
5 14 阿贝尔 2 C24 C24 16 -- -- --
6 9 幂零 8 C2 C22 7 11 9 7
7 8 幂零 8 C2 C22 7 15 10 7 【16阶拟二面体群QD_16】
8 7 幂零 8 C2 C22 7 19 11 7 【GAP4[16,7]=O_2(F_7)=D_8】
9 6 幂零 8 C4 C2×C4 10 11 10 9 【16阶模群】
10 13 幂零 4 C4 C23 10 23 20 17 【16阶Pauli群P的中心是C_4，换位子群是C_2】
11 4 幂零 4 C22 C2×C4 10 15 13 11
12 3 幂零 4 C22 C2×C4 10 23 17 11 【V(4,2)的中心是C_2×C_2，换位子群是C_2。】
13 12 幂零 4 C22 C23 10 19 19 19
14 11 幂零 4 C22 C23 10 35 27 19
gap> L:=Factors(16);
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> G:=AbelianGroup(L);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 14 ]
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> L1:=[L[1],L[2],L[3]*L[4]];
[ 2, 2, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L1);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 10 ]
[ 2, 2, 4 ]
gap> L2:=[L[1]*L[2],L[3]*L[4]];
[ 4, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L2);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 2 ]
[ 4, 4 ]
gap> L3:=[L[1]*L[2]*L[3]*L[4]];
[ 16 ]
gap> G:=AbelianGroup(L3);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 1 ]
[ 16 ]
gap> L4:=[L[1],L[2]*L[3]*L[4]];
[ 2, 8 ]
gap> G:=AbelianGroup(L4);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 5 ]
[ 2, 8 ]

存在24阶的15群：
1个循环群----GAP4[ 24, 2 ]=G24_1=C_24，
2个非循环阿贝尔群----GAP4[ 24, 9 ]=G24_2=C_6×C_4=C_12×C_2=U35=U39，GAP4[ 24, 15 ]=G24_3=C_6×K_4=E_8×C_3=C_2×C_2×C_2×C_3=U84
gap> U35:=Units(Integers mod 35);;IdGroup(U35);
[ 24, 9 ]
gap> U39:=Units(Integers mod 39);;IdGroup(U39);
[ 24, 9 ]
gap> U84:=Units(Integers mod 84);;IdGroup(U84);
[ 24, 15 ]
1个二面体群----二面体群GAP4[ 24, 6 ]=G24_8=D_12（也是非幂零可解群），
gap> G:=DihedralGroup(24);IdGroup(G);IsAbelian(G);IsNilpotentGroup(G);IsSupersolvableGroup(G);IsSolvableGroup(G);
<pc group of size 24 with 4 generators>
[ 24, 6 ]
false
false
true
true
2个非阿贝尔幂零群----GAP4[ 24, 10 ]=G24_11=D_4×C_3，GAP4[ 24, 11 ]=G24_12=Q_8×C_3，
除24阶二面体群外的9个非幂零可解群----
特殊线性群GAP4[ 24, 3 ]=G24_5=SL_2(F_3)，
双循环群GAP4[ 24, 4 ]=G24_6=Dic24=Q_24，
GAP4[ 24, 7 ]=G24_9=Q_12×C_2，
GAP4[ 24, 14 ]=G24_15=S_3×K_4=D_6×C_2!=S_4，
GAP4[ 24, 13 ]=G24_14=A_4×C_2，
GAP4[ 24, 5 ]=G24_7=S_3×C_4=D_3×C_4，
GAP4[ 24, 12 ]=G24_13=S_4=C_3×|D_4(C_3和D_4的在核K_4下的半直积)：没有6,8,12阶元
S_4有1个1阶元，9个2阶元，8个3阶元，6个4阶元，0个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
GAP4[ 24, 1 ]=G24_4=C_3×|C_8(C_3和C_8的非平凡半直积)=U(3,4)=U_6*4（U_6n(n=4)）=<a,x|a^3=x^8=e,xax^(-1)=a^(-1)>：有6,8,12阶元
GAP4[ 24, 8 ]=G24_10=V(4,3)（V_8n(n=3)）=<a,b|a^6=b^4=1,ba=a^(-1)b^(-1),b^(-1)a=a^(-1)b>：有6阶元，没有8,12阶元
GAP4[ 24, 1 ]=G24_4有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，2个6阶元，12个8阶元，4个12阶元，0个24阶元
GAP4[ 24, 8 ]=G24_10有1个1阶元，9个2阶元，2个3阶元，6个4阶元，6个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元

gap> Factors(24);
[ 2, 2, 2, 3 ]
由Sylow第一定理可知24阶群必然存在2、2^2、2^3、3阶子群。
Sylow第一定理：当群的阶可以表示为一个“素数的方幂”与一个与这个素数互素的数的乘积时，可以确定这个群一定含有这个“素数的某些方幂”阶的子群。
四次对称群S_4有1个1阶元，9个2阶元，8个3阶元，6个4阶元，0个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
S_4没有8阶元，|Syl_2(S_4)|=8、Syl_2(S_4)=GAP4[8,3]=D_4!=C_8=GAP4[8,1]
GAP4[8,3]：1个1阶元,5个2阶元,2个4阶元,0个8阶元,
gap> for n in [1..15] do g:=SmallGroup(24,n);;gid:=StructureDescription(g);Print(gid,"是否超可解：",IsSupersolvableGroup(g));s:=Elements(g);;sl2:=SylowSubgroup(g,2);;Print(IdGroup(sl2),IsSubnormal(g,sl2));sl3:=SylowSubgroup(g,3);;Print(IdGroup(sl3),IsSubnormal(g,sl3),"\n");od;
C3 : C8是否超可解：true[ 8, 1 ]false[ 3, 1 ]true
C24是否超可解：true[ 8, 1 ]true[ 3, 1 ]true
SL(2,3)是否超可解：false[ 8, 4 ]true[ 3, 1 ]false
C3 : Q8是否超可解：true[ 8, 4 ]false[ 3, 1 ]true
C4 x S3是否超可解：true[ 8, 2 ]false[ 3, 1 ]true
D24是否超可解：true[ 8, 3 ]false[ 3, 1 ]true
C2 x (C3 : C4)是否超可解：true[ 8, 2 ]false[ 3, 1 ]true
(C6 x C2) : C2是否超可解：true[ 8, 3 ]false[ 3, 1 ]true
C12 x C2是否超可解：true[ 8, 2 ]true[ 3, 1 ]true
C3 x D8是否超可解：true[ 8, 3 ]true[ 3, 1 ]true
C3 x Q8是否超可解：true[ 8, 4 ]true[ 3, 1 ]true
S4是否超可解：false[ 8, 3 ]false[ 3, 1 ]false
C2 x A4是否超可解：false[ 8, 5 ]true[ 3, 1 ]false
C2 x C2 x S3是否超可解：true[ 8, 5 ]false[ 3, 1 ]true
C6 x C2 x C2是否超可解：true[ 8, 5 ]true[ 3, 1 ]true
下列的叙述在有限群中均为等价，表现出一个幂零性的有用性质：
G为一幂零群。
若H为G的纯子群，则H为N(H)(G内H之正规化子)的纯正规子群。
每一个G的最大纯子群均为正规的。
G为其西洛子群的直积。
gap> for n in [1..15] do G:=SmallGroup(24,n);sl2:=SylowSubgroup(G,2);;sl3:=SylowSubgroup(G,3);;idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,3,4,6,8,12,24];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;sl2sl3:=DirectProduct(sl2,sl3);;Print(IdGroup(sl2),"×",IdGroup(sl3),"=",IdGroup(sl2sl3),"是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 24, 1 ]:1,1,2,2,2,12,4,0,[ 8, 1 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 2 ]是否幂零：false,C3 : C8
[ 24, 2 ]:1,1,2,2,2,4,4,8,[ 8, 1 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 2 ]是否幂零：true,C24
[ 24, 3 ]:1,1,8,6,8,0,0,0,[ 8, 4 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 11 ]是否幂零：false,SL(2,3)
[ 24, 4 ]:1,1,2,14,2,0,4,0,[ 8, 4 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 11 ]是否幂零：false,C3 : Q8
[ 24, 5 ]:1,7,2,8,2,0,4,0,[ 8, 2 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 9 ]是否幂零：false,C4 x S3
[ 24, 6 ]:1,13,2,2,2,0,4,0,[ 8, 3 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 10 ]是否幂零：false,D24
[ 24, 7 ]:1,3,2,12,6,0,0,0,[ 8, 2 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 9 ]是否幂零：false,C2 x (C3 : C4)
[ 24, 8 ]:1,9,2,6,6,0,0,0,[ 8, 3 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 10 ]是否幂零：false,(C6 x C2) : C2
[ 24, 9 ]:1,3,2,4,6,0,8,0,[ 8, 2 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 9 ]是否幂零：true,C12 x C2
[ 24, 10 ]:1,5,2,2,10,0,4,0,[ 8, 3 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 10 ]是否幂零：true,C3 x D8
[ 24, 11 ]:1,1,2,6,2,0,12,0,[ 8, 4 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 11 ]是否幂零：true,C3 x Q8
[ 24, 12 ]:1,9,8,6,0,0,0,0,[ 8, 3 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 10 ]是否幂零：false,S4
[ 24, 13 ]:1,7,8,0,8,0,0,0,[ 8, 5 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 15 ]是否幂零：false,C2 x A4
[ 24, 14 ]:1,15,2,0,6,0,0,0,[ 8, 5 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 15 ]是否幂零：false,C2 x C2 x S3
[ 24, 15 ]:1,7,2,0,14,0,0,0,[ 8, 5 ]×[ 3, 1 ]=[ 24, 15 ]是否幂零：true,C6 x C2 x C2

半直积的例子1:

C_3⋊C_2

Aut(C_3)=C_2，C_2到C_2的同态有2个：f_1(非平凡同态，双射),f_2(平凡同态，C_2{<}ker(f_2))

我们考虑f_1，那么C_3⋊C_2=D_3

半直积的例子2:

K_4⋊C_3

Aut(K_4)=D_3，

D_3有子群C_3，所以C_3到D_3的同态有2个：f_1(非平凡同态，单射),f_2(平凡同态，此时半直积就是直积K_4×C_3)

我们考虑f_1，那么K_4⋊C_3=A_4

G24_1=C_24有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，2个6阶元，4个8阶元，4个12阶元，8个24阶元
G24_2=C_6×C_4有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，4个4阶元，6个6阶元，0个8阶元，8个12阶元，0个24阶元
G24_3=C_6×K_4有1个1阶元，7个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，14个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
G24_4=U(3,4)有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，2个6阶元，12个8阶元，4个12阶元，0个24阶元
G24_5=SL_2(F_3)有1个1阶元，1个2阶元，8个3阶元，6个4阶元，8个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
G24_6=Q_24有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，14个4阶元，2个6阶元，0个8阶元，4个12阶元，0个24阶元
G24_7=S_3×C_4=D_3×C_4有1个1阶元，7个2阶元，2个3阶元，8个4阶元，2个6阶元，0个8阶元，4个12阶元，0个24阶元
G24_8=D_12有1个1阶元，13个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，2个6阶元，0个8阶元，4个12阶元，0个24阶元
G24_9=Q_12×C_2有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，12个4阶元，6个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
G24_10=V(4,3)有1个1阶元，9个2阶元，2个3阶元，6个4阶元，6个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
G24_11=D_4×C_3有1个1阶元，5个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，10个6阶元，0个8阶元，4个12阶元，0个24阶元
G24_12=Q_8×C_3有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，6个4阶元，2个6阶元，0个8阶元，12个12阶元，0个24阶元
G24_13=S_4有1个1阶元，9个2阶元，8个3阶元，6个4阶元，0个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
G24_14=A_4×C_2有1个1阶元，7个2阶元，8个3阶元，0个4阶元，8个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
G24_15!=S_4有1个1阶元，15个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，6个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元
----24阶非交换群S_3×K_4=D_6×C_2群元的阶----
//1个1阶元，15个2阶元，2个3阶元，6个6阶元

GAP[24,1]=G24_4=C_3⋊C_8=U(3,4)=U_6*4=<a,x|a^3=x^8=e,xax^(-1)=a^(-1)>：有6,8,12阶元

N和H相对于非平凡群同态φ : H → Aut(N)的半直积N⋊H=H:N=C_3⋊C_8=C_8:C_3=GAP[24,1]

gap> H:=CyclicGroup(IsPermGroup,8);;N:=CyclicGroup(IsPermGroup,3);;A:=AutomorphismGroup(N);;elts := Elements(A);sigma := elts[2];sigma^2;map := GroupHomomorphismByImages(H, A, GeneratorsOfGroup(H), [sigma]);SDP := SemidirectProduct(H, map,N);IdGroup(SDP);List(elts,Order);IdGroup(DirectProduct(H,N));
[ [ (1,2,3) ] -> [ (1,2,3) ], [ (1,2,3) ] -> [ (1,3,2) ] ]
[ (1,2,3) ] -> [ (1,3,2) ]
[ (1,2,3) ] -> [ (1,2,3) ]
[ (1,2,3,4,5,6,7,8) ] -> [ [ (1,2,3) ] -> [ (1,3,2) ] ]
Group([ (9,10,11), (1,2,3,4,5,6,7,8)(10,11) ])
[ 24, 1 ]
[ 1, 2 ]
[ 24, 2 ]
平凡群同态的情形：

gap> H:=CyclicGroup(IsPermGroup,8);;N:=CyclicGroup(IsPermGroup,3);;A:=AutomorphismGroup(N);;elts := Elements(A);sigma := elts[1];sigma^2;map := GroupHomomorphismByImages(H, A, GeneratorsOfGroup(H), [sigma]);SDP := SemidirectProduct(H, map,N);IdGroup(SDP);List(elts,Order);IdGroup(DirectProduct(H,N));
[ [ (1,2,3) ] -> [ (1,2,3) ], [ (1,2,3) ] -> [ (1,3,2) ] ]
[ (1,2,3) ] -> [ (1,2,3) ]
[ (1,2,3) ] -> [ (1,2,3) ]
[ (1,2,3,4,5,6,7,8) ] -> [ [ (1,2,3) ] -> [ (1,2,3) ] ]
Group([ (9,10,11), (1,2,3,4,5,6,7,8) ])
[ 24, 2 ]
[ 1, 2 ]
[ 24, 2 ]

G24_10=V(4,3)=<a,b|a^6=b^4=1,ba=a^(-1)b^(-1),b^(-1)a=a^(-1)b>：有6阶元，没有8,12阶元
G24_13=C_3⋊D_4=S_4：没有6,8,12阶元

15种24阶群
编号 GAP 序列号性质指数中心 G/[G,G] 共轭类子群子群类正规子群
1 2 循环 24 C3×C8 C3×C8 24 -- -- --
2 9 阿贝尔 12 C2×C3×C4 C2×C3×C4 24 -- -- --
3 15 阿贝尔 6 C23×C3 C23×C3 24 -- -- --
4 6 两面体 12 C2 C22 9 34 16 9
5 11 幂零 12 C2×C3 C22×C3 15 12 12 12
6 10 幂零 12 C2×C3 C22×C3 15 20 16 12
7 1 可解 24 C4 C8 12 10 8 7
8 12 可解 12 1 C2 5 30 11 4
9 3 可解 12 C2 C3 7 15 7 4
10 4 可解 12 C2 C22 9 18 12 9
11 8 可解 12 C2 C22 9 30 16 9
12 5 可解 12 C4 C2×C4 12 26 16 11
13 7 可解 12 C22 C2×C4 12 22 16 13
14 13 可解 6 C2 C2×C3 8 26 12 6
15 14 可解 6 C22 C23 12 54 32 21

13种60阶群
号 GAP 序列号性质指数中心 G/[G,G] 共轭类子群子群类正规子群
1 5 单 30 1 1 5 59 9 2
2 4 循环 60 C3×C4×C5 C3×C4×C5 60 -- -- --
3 13 阿贝尔 30 C22×C3×C5 C22×C3×C5 60 -- -- --
4 12 两面体 30 C2 C22 18 80 20 11
5 7 可解 60 1 C4 9 40 12 7
6 3 可解 60 C2 C4 18 32 12 9
7 6 可解 60 C3 C3×C4 15 28 12 8
8 2 可解 60 C2×C3 C3×C4 24 20 12 10
9 1 可解 60 C2×C5 C4×C5 30 16 12 10
10 8 可解 30 1 C22 12 72 20 10
11 9 可解 30 C5 C3×C5 20 20 10 6
12 10 可解 30 C2×C3 C22×C3 24 44 20 14
13 11 可解 30 C2×C5 C22×C5 30 32 20 14

20151029：陈松良等人的《论60阶群的构造》一文证明了60阶群是单群的充要条件是它的Sylow 5-子群不正规，其余的12个60阶非单群的Sylow 5-子群正规。原文中漏掉了2种60阶群：GAP4[60,7]、GAP4[60,8]。
gap> F:=FreeGroup(1);;G1:=F/[F.1^60];;StructureDescription(G1);IdGroup(G1);
"C60"
[ 60, 4 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G2:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*F.2];;StructureDescription(G2);IdGroup(G2);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 2 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G3:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2^2)^(-1)];;StructureDescription(G3);IdGroup(G3);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G4:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1)];;StructureDescription(G4);IdGroup(G4);
"C30 x C2"
[ 60, 13 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G5:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.2)^(-1),F.1^(-1) * F.3 * F.1*F.3];;StructureDescription(G5);IdGroup(G5);
"C6 x D10"
[ 60, 10 ]
gap> F:=FreeGroup(4);;G6:=F/[F.1^2, F.2^2,F.3^3,F.4^5,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1),F.3^(-1) * F.1 * F.3*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.1^(-1)*F.4*F.1*F.4^(-1),F.2^(-1)*F.4*F.2*F.4^(-1),F.3^(-1)*F.4*F.3*F.4^(-1)];;StructureDescription(G6);IdGroup(G6);
"C5 x A4"
[ 60, 9 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G7:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G7);IdGroup(G7);
"C10 x S3"
[ 60, 11 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G8:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G8);IdGroup(G8);
"D60"
[ 60, 12 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G9:=F/[F.1^6, F.2^2*(F.1^3)^(-1),F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G9);IdGroup(G9);
"C5 x (C3 : C4)"
[ 60, 1 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G10:=F/[F.1^30, F.2^2*(F.1^15)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G10);IdGroup(G10);
"C15 : C4"
[ 60, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G11:=F/[F.1^3, F.2^3,F.3^3,(F.1 * F.2)^2,(F.1 * F.3)^2,(F.2 * F.3)^2];;StructureDescription(G11);IdGroup(G11);
"A5"
[ 60, 5 ]
gap> for n in [1..13] do G:=SmallGroup(60,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 60, 1 ]:1,1,2,6,4,2,4,0,8,24,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 48, 35 ],C5 x (C3 : C4)
[ 60, 2 ]:1,1,2,10,4,2,4,20,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 80, 50 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 3 ]:1,1,2,30,4,2,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 240, 195 ],C15 : C4
[ 60, 4 ]:1,1,2,2,4,2,4,4,8,8,8,16,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 10 ],C60
[ 60, 5 ]:1,15,20,0,24,0,0,0,0,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 34 ],A5
[ 60, 6 ]:1,5,2,10,4,10,0,20,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 40, 12 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 7 ]:1,5,2,30,4,10,0,0,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 36 ],C15 : C4
[ 60, 8 ]:1,23,2,0,4,10,12,0,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 36 ],S3 x D10
[ 60, 9 ]:1,3,8,0,4,0,12,0,32,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 96, 186 ],C5 x A4
[ 60, 10 ]:1,11,2,0,4,22,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 80, 50 ],C6 x D10
[ 60, 11 ]:1,7,2,0,4,2,28,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 48, 35 ],C10 x S3
[ 60, 12 ]:1,31,2,0,4,2,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 240, 195 ],D60
[ 60, 13 ]:1,3,2,0,4,6,12,0,8,0,24,0,是否幂零：true,自同构群：[ 48, 35 ],C30 x C2
gap> Factors(60);
[ 2, 2, 3, 5 ]
gap> for n in [1..13] do g:=SmallGroup(60,n);;gid:=StructureDescription(g);Print(gid,"是否超可解：",IsSupersolvableGroup(g));s:=Elements(g);;sl2:=SylowSubgroup(g,2);;Print(IdGroup(sl2),IsSubnormal(g,sl2));sl3:=SylowSubgroup(g,3);;sl5:=SylowSubgroup(g,5);;Print(IdGroup(sl3),IsSubnormal(g,sl3),IdGroup(sl5),IsSubnormal(g,sl5),"\n");od;
C5 x (C3 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C60是否超可解：true[ 4, 1 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
A5是否超可解：false[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]false
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
S3 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C5 x A4是否超可解：false[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]true
C6 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C10 x S3是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
D60是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C30 x C2是否超可解：true[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
定理：p^n阶群G的自同构群的阶|Aut(G)|恒为|Aut(E(p^n))|的因数。
gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",Order(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否幂零：true,自同构群：8,C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：96,C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：192,C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：64,C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：192,C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：48,(C4 x C2) : C2
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,秩：4,是否幂零：true,自同构群：20160,C2 x C2 x C2 x C2
gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否幂零：true,自同构群：[ 8, 2 ],C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 96, 195 ],C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 27 ],(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 27 ],C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 43 ],D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 43 ],Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 192, 1493 ],C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 64, 138 ],C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 192, 955 ],C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 48, 48 ],(C4 x C2) : C2
Error, the group identification for groups of size 20160 is not available called from
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,IdGroup( AutomorphismGroup( G ) ) called from
<function "unknown">( <arguments> )
called from read-eval loop at line 13 of *stdin*
you can 'quit;' to quit to outer loop, or
you can 'return;' to continue
51种32阶群
1,3,20,8,0,0,
1个1阶元，3个2阶元，20个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,10)=G32_15
GAP4(32,13)=G32_18
GAP4(32,14)=G32_19
GAP4(32,41)=G32_43
1,3,12,16,0,0,
1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,3)=G32_2
GAP4(32,4)=G32_9
GAP4(32,8)=G32_13
GAP4(32,12)=G32_17
1,11,12,8,0,0,
1个1阶元，11个2阶元，12个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,40)=G32_42
GAP4(32,9)=G32_14
GAP4(32,42)=G32_44
QD16C2
1,7,24,0,0,0,
1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,29)=G32_32
GAP4(32,47)=G32_48
GAP4(32,2)=G32_8
GAP4(32,21)=G32_4
GAP4(32,23)=G32_26
GAP4(32,24)=G32_27
GAP4(32,33)=G32_36
1,7,8,16,0,0,
1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,5)=G32_10
GAP4(32,36)=G32_5
GAP4(32,37)=G32_39
GAP4(32,38)=G32_40
1,11,20,0,0,0,
1个1阶元，11个2阶元，20个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,30)=G32_33
GAP4(32,31)=G32_34
GAP4(32,50)=G32_51
GAP4(32,6)=G32_11
GAP4(32,25)=G32_28
1,3,28,0,0,0,
1个1阶元，3个2阶元，28个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,26)=G32_29
GAP4(32,32)=G32_35
GAP4(32,35)=G32_38
1,19,12,0,0,0,
1个1阶元，19个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,34)=G32_37
GAP4(32,49)=G32_50
GAP4(32,27)=G32_30
1,15,16,0,0,0,
1个1阶元，15个2阶元，16个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,45)=G32_6=C_2×C_2×C_2×C_4
GAP4(32,22)=G32_25
GAP4(32,28)=G32_31
GAP4(32,48)=G32_49
1,3,4,8,16,0,
1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，16个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,17)=G32_21
GAP4(32,16)=G32_3=C_2×C_16
1,7,16,8,0,0,
1个1阶元，7个2阶元，16个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,44)=G32_46
GAP4(32,11)=G32_16
其他群元阶的分布：
1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，16个32阶元
GAP4(32,1)=G32_1
1个1阶元，11个2阶元，4个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,7)=G32_12
1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，24个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,15)=G32_20
1个1阶元，17个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,18)=G32_22
1个1阶元，9个2阶元，10个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,19)=G32_23
1个1阶元，1个2阶元，18个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,20)=G32_24
1个1阶元，15个2阶元，8个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,43)=G32_45
1个1阶元，23个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,46)=G32_47
1个1阶元，31个2阶元，0个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,51)=G32_7
1个1阶元，19个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4(32,39)=G32_41=D8C2
GAP4[32,1]=G32_1=C_32有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，16个32阶元
GAP4[32,3]=G32_2=C_4×C_8有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,16]=G32_3=C_2×C_16有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，16个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,21]=G32_4=C_2×C_4×C_4有1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,36]=G32_5=C_2×C_2×C_8有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,45]=G32_6=C_2×C_2×C_2×C_4有1个1阶元，15个2阶元，16个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,51]=G32_7=C_2×C_2×C_2×C_2×C_2有1个1阶元，31个2阶元，0个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,2]=G32_8有1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,4]=G32_9有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,5]=G32_10有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,6]=G32_11有1个1阶元，11个2阶元，20个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,7]=G32_12有1个1阶元，11个2阶元，4个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,8]=G32_13有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,9]=G32_14有1个1阶元，11个2阶元，12个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,10]=G32_15有1个1阶元，3个2阶元，20个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,11]=G32_16有1个1阶元，7个2阶元，16个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,12]=G32_17有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,13]=G32_18有1个1阶元，3个2阶元，20个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,14]=G32_19有1个1阶元，3个2阶元，20个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,15]=G32_20有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，24个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,17]=G32_21有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，16个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,18]=G32_22有1个1阶元，17个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,19]=G32_23有1个1阶元，9个2阶元，10个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,20]=G32_24有1个1阶元，1个2阶元，18个4阶元，4个8阶元，8个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,22]=G32_25有1个1阶元，15个2阶元，16个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,23]=G32_26有1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,24]=G32_27有1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,25]=G32_28=D4C4有1个1阶元，11个2阶元，20个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,26]=G32_29=Q8C4有1个1阶元，3个2阶元，28个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,27]=G32_30有1个1阶元，19个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,28]=G32_31有1个1阶元，15个2阶元，16个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,29]=G32_32有1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,30]=G32_33有1个1阶元，11个2阶元，20个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,31]=G32_34有1个1阶元，11个2阶元，20个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,32]=G32_35有1个1阶元，3个2阶元，28个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,33]=G32_36有1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,34]=G32_37有1个1阶元，19个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,35]=G32_38有1个1阶元，3个2阶元，28个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,37]=G32_39=M16C2有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[16,6]=G16_8=M_16
gap> G:=DirectProduct(SmallGroup(16,6),CyclicGroup(2));;IdGroup(G);
[ 32, 37 ]
GAP4[32,38]=G32_40有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，16个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,39]=G32_41=D8C2有1个1阶元，19个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,40]=G32_42=QD16C2有1个1阶元，11个2阶元，12个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[16,8]=G16_10=QD_16
gap> G:=DirectProduct(SmallGroup(16,8),CyclicGroup(2));;IdGroup(G);
[ 32, 40 ]
GAP4[32,41]=G32_43=Q16C2有1个1阶元，3个2阶元，20个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,42]=G32_44有1个1阶元，11个2阶元，12个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,43]=G32_45有1个1阶元，15个2阶元，8个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,44]=G32_46有1个1阶元，7个2阶元，16个4阶元，8个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,46]=G32_47=D4C2C2有1个1阶元，23个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,47]=G32_48=Q8C2C2有1个1阶元，7个2阶元，24个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,48]=G32_49=PC2有1个1阶元，15个2阶元，16个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[16,13]=G16_14=P
gap> G:=DirectProduct(SmallGroup(16,13),CyclicGroup(2));;IdGroup(G);
[ 32, 48 ]
GAP4[32,49]=G32_50有1个1阶元，19个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元
GAP4[32,50]=G32_51有1个1阶元，11个2阶元，20个4阶元，0个8阶元，0个16阶元，0个32阶元

14种36阶群：
第1种Q_36=C_9:C_4
GAP4[36,1]=Q36有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，18个4阶元，2个6阶元，6个9阶元，0个12阶元，6个18阶元，0个36阶元
gap> G:=QuaternionGroup(36);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 1 ]
[ 1, 4, 18, 6, 2, 4, 4, 4, 9, 9, 9, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 18, 18, 18, 18, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 9, 9, 9, 4, 4, 4, 18, 4 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,1,2,18,2,6,0,6,0,
第2种C_36
GAP4[36,2]=C36有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，2个6阶元，6个9阶元，4个12阶元，6个18阶元，12个36阶元
gap> G:=CyclicGroup(36);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 2 ]
[ 1, 36, 18, 9, 3, 12, 36, 36, 6, 18, 9, 9, 3, 36, 12, 4, 36, 36, 18, 2, 18, 9, 9, 36, 36, 4, 12, 36, 18, 6, 9, 36,
36, 12, 18, 36 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,1,2,2,2,6,4,6,12,
第4种D_18=D_9×C_2
GAP4[36,4]=D18Set_Table=D9C2有1个1阶元，19个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，2个6阶元，6个9阶元，0个12阶元，6个18阶元，0个36阶元
gap> G:=DihedralGroup(36);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 4 ]
[ 1, 2, 18, 9, 3, 2, 2, 2, 6, 18, 9, 9, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 18, 2, 18, 9, 9, 2, 2, 2, 2, 2, 18, 6, 9, 2, 2, 2, 18, 2 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,19,2,0,2,6,0,6,0,
第5种C_18×C_2
GAP4[36,5]=C18C2有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，6个6阶元，6个9阶元，0个12阶元，18个18阶元，0个36阶元
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(18),CyclicGroup(2));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 5 ]
[ 1, 18, 9, 3, 2, 6, 18, 18, 9, 9, 18, 3, 6, 18, 2, 6, 18, 18, 9, 18, 9, 18, 6, 18, 18, 6, 2, 18, 9, 18, 18, 18, 18,
6, 18, 18 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,3,2,0,6,6,0,18,0,
第6种Q_12×C_3
GAP4[36,6]=Q12C3有1个1阶元，1个2阶元，8个3阶元，6个4阶元，8个6阶元，0个9阶元，12个12阶元，0个18阶元，0个36阶元
gap> G:=DirectProduct(QuaternionGroup(12),CyclicGroup(3));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 6 ]
[ 1, 4, 6, 2, 3, 4, 4, 12, 3, 3, 6, 6, 3, 4, 4, 12, 12, 12, 6, 3, 3, 6, 6, 4, 12, 12, 12, 12, 6, 3, 3, 12, 12, 12,
6, 12 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,1,8,6,8,0,12,0,0,
第8种C_12×C_3
GAP4[36,8]=C12C3有1个1阶元，1个2阶元，8个3阶元，2个4阶元，8个6阶元，0个9阶元，16个12阶元，0个18阶元，0个36阶元
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(12),CyclicGroup(3));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 8 ]
[ 1, 12, 6, 3, 3, 4, 12, 12, 2, 6, 3, 3, 3, 12, 12, 4, 12, 12, 6, 6, 6, 3, 3, 12, 12, 12, 12, 12, 6, 6, 3, 12, 12,
12, 6, 12 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,1,8,2,8,0,16,0,0,
第10种S_3×S_3
GAP4[36,10]=S3S3有1个1阶元，15个2阶元，8个3阶元，0个4阶元，12个6阶元，0个9阶元，0个12阶元，0个18阶元，0个36阶元
gap> G:=DirectProduct(SymmetricGroup(3),SymmetricGroup(3));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
Group([ (1,2,3), (1,2), (4,5,6), (4,5) ])
[ 36, 10 ]
[ 1, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 2, 3, 6, 6, 3, 3, 6, 3, 6, 6, 3, 3, 6, 2, 2, 2, 6, 6, 2 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,15,8,0,12,0,0,0,0,
第11种A_4×C_3
GAP4[36,11]=A4C3有1个1阶元，3个2阶元，26个3阶元，0个4阶元，6个6阶元，0个9阶元，0个12阶元，0个18阶元，0个36阶元
gap> G:=DirectProduct(AlternatingGroup(4),CyclicGroup(3));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<group of size 36 with 3 generators>
[ 36, 11 ]
[ 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 6, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 6, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 6, 6 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,3,26,0,6,0,0,0,0,
第12种C_6×S_3
GAP4[36,12]=C6S3有1个1阶元，7个2阶元，8个3阶元，0个4阶元，20个6阶元，0个9阶元，0个12阶元，0个18阶元，0个36阶元
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(6),SymmetricGroup(3));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 12 ]
[ 1, 2, 2, 3, 3, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 3, 6, 6, 3, 3, 6, 2, 2, 2, 6, 6, 2, 3, 6, 6, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,7,8,0,20,0,0,0,0,
第13种G18_5×C_2=GAP4[18,4]×C_2
gap> IdGroup(DirectProduct(SmallGroup(18,4),CyclicGroup(2)));
[ 36, 13 ]
G18_5C2有1个1阶元，19个2阶元，8个3阶元，0个4阶元，8个6阶元，0个9阶元，0个12阶元，0个18阶元，0个36阶元
gap> G:=SmallGroup(36,13);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 13 ]
[ 1, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 6, 6, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 3, 2, 2, 2, 6, 2 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,19,8,0,8,0,0,0,0,
第14种C_6×C_6
GAP4[36,14]=C6C6有1个1阶元，3个2阶元，8个3阶元，0个4阶元，24个6阶元，0个9阶元，0个12阶元，0个18阶元，0个36阶元

gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(6),CyclicGroup(6));IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 14 ]
[ 1, 6, 3, 6, 3, 2, 6, 6, 3, 6, 3, 2, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 3, 6, 3, 6, 6, 6, 2, 6, 6, 6, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,3,8,0,24,0,0,0,0,
另外3个36阶群可由半直积构造出来：

gap> G:=SmallGroup(36,3);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 3 ]
[ 1, 9, 3, 2, 2, 9, 9, 9, 9, 3, 6, 6, 2, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 6, 9, 9, 9, 9, 9 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,3,2,0,6,24,0,0,0,
gap> G:=SmallGroup(36,7);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 7 ]
[ 1, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 3, 4, 4, 4, 6, 4 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,1,8,18,8,0,0,0,0,
gap> G:=SmallGroup(36,9);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,9,12,18,36];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 36 with 4 generators>
[ 36, 9 ]
[ 1, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 2, 4 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ]
1,9,8,18,0,0,0,0,0,

20151006补充：定理：52种48阶群与它们的群元阶的分布、换位子群、自同构群/正规子群的个数一一对应[ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48]
Group GAP4(48,1) [C3 : C16] 1,1,2,2,2,4,4,24,8,0,
Group GAP4(48,2) [C48] 1,1,2,2,2,4,4,8,8,16,
Group GAP4(48,3) [(C4 x C4) : C3] 1,3,32,12,0,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,4) [C8 x S3] 1,7,2,8,2,16,4,0,8,0,非交换群,换位子群是C_3
Group GAP4(48,5) [C24 : C2] 1,7,2,8,2,16,4,0,8,0,交换群,换位子群是C_6
Group GAP4(48,6) [C24 : C2] 1,13,2,14,2,4,4,0,8,0,
Group GAP4(48,7) [D48] 1,25,2,2,2,4,4,0,8,0,
Group GAP4(48,8) [C3 : Q16] 1,1,2,26,2,4,4,0,8,0,
Group GAP4(48,9) [C2 x (C3 : C8)] 1,3,2,4,6,24,8,0,0,0,换位子群是C_3
Group GAP4(48,10) [(C3 : C8) : C2] 1,3,2,4,6,24,8,0,0,0,换位子群是C_6
Group GAP4(48,11) [C4 x (C3 : C4)] 1,3,2,28,6,0,8,0,0,0,换位子群是C_3,中心是GAP4[8,2]，正规子群个数为23
gap> IdGroup(DerivedSubgroup(SmallGroup(48,11)));
[ 3, 1 ]
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(SmallGroup(48,11)));
[ 192, 1147 ]
Group GAP4(48,12) [(C3 : C4) : C4] 1,3,2,28,6,0,8,0,0,0,换位子群是C_6,中心是克莱因四元群GAP4[4,2]，正规子群个数为17
gap> IdGroup(DerivedSubgroup(SmallGroup(48,12)));
[ 6, 2 ]
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(SmallGroup(48,12)));
[ 96, 230 ]
Group GAP4(48,13) [C12 : C4] 1,3,2,28,6,0,8,0,0,0,换位子群是C_6,中心是克莱因四元群GAP4[4,2]，正规子群个数为19
gap> IdGroup(DerivedSubgroup(SmallGroup(48,13)));
[ 6, 2 ]
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(SmallGroup(48,13)));
[ 192, 1147 ]
Group GAP4(48,14) [(C12 x C2) : C2] 1,15,2,16,6,0,8,0,0,0,
Group GAP4(48,15) [(C3 x D8) : C2] 1,17,2,2,10,12,4,0,0,0,
Group GAP4(48,16) [(C3 : C8) : C2] 1,5,2,14,10,12,4,0,0,0,
Group GAP4(48,17) [(C3 x Q8) : C2] 1,13,2,6,2,12,12,0,0,0,
Group GAP4(48,18) [C3 : Q16] 1,1,2,18,2,12,12,0,0,0,
Group GAP4(48,19) [(C2 x (C3 : C4)) : C2] 1,7,2,24,14,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,20) [C12 x C4] 1,3,2,12,6,0,24,0,0,0,换位子群是C_1
Group GAP4(48,21) [C3 x ((C4 x C2) : C2)] 1,7,2,8,14,0,16,0,0,0,
Group GAP4(48,22) [C3 x (C4 : C4)] 1,3,2,12,6,0,24,0,0,0,换位子群是C_2
Group GAP4(48,23) [C24 x C2] 1,3,2,4,6,8,8,0,16,0,换位子群是C_1
Group GAP4(48,24) [C3 x (C8 : C2)] 1,3,2,4,6,8,8,0,16,0,换位子群是C_2
Group GAP4(48,25) [C3 x D16] 1,9,2,2,18,4,4,0,8,0,
Group GAP4(48,26) [C3 x QD16]1,5,2,6,10,4,12,0,8,0,
Group GAP4(48,27) [C3 x Q16] 1,1,2,10,2,4,20,0,8,0,
Group GAP4(48,28) [C2 . S4 = SL(2,3) . C2] 1,1,8,18,8,12,0,0,0,0,
双八面体群(binary octahedral group)2O有1个1阶元，1个2阶元，8个3阶元，18个4阶元，8个6阶元，12个8阶元，0个12阶元，0个16阶元，0个24阶元，0个48阶元
Group GAP4(48,29) [GL(2,3)] 1,13,8,6,8,12,0,0,0,0,
Group GAP4(48,30) [A4 : C4] 1,7,8,24,8,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,31) [C4 x A4] 1,7,8,8,8,0,16,0,0,0,,换位子群是GAP4[4,2]
Group GAP4(48,32) [C2 x SL(2,3)] 1,3,8,12,24,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,33) [SL(2,3) : C2] 1,7,8,8,8,0,16,0,0,0,换位子群是GAP4[8,4]
Group GAP4(48,34) [C2 x (C3 : Q8)]1,3,2,28,6,0,8,0,0,0,换位子群是C_6,中心是克莱因四元群GAP4[4,2]，正规子群个数为23
gap> IdGroup(DerivedSubgroup(SmallGroup(48,34)));
[ 6, 2 ]
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(SmallGroup(48,34)));
[ 384, 12882 ]
Group GAP4(48,35) [C2 x C4 x S3] 1,15,2,16,6,0,8,0,0,0,换位子群是C_3
Group GAP4(48,36) [C2 x D24] 1,27,2,4,6,0,8,0,0,0,
Group GAP4(48,37) [(C12 x C2) : C2] 1,15,2,16,6,0,8,0,0,0,换位子群是C_6
Group GAP4(48,38) [D8 x S3]1,23,2,8,10,0,4,0,0,0,
Group GAP4(48,39) [(C2 x (C3 : C4)) : C2] 1,11,2,20,10,0,4,0,0,0,
Group GAP4(48,40) [Q8 x S3] 1,7,2,24,2,0,12,0,0,0,
Group GAP4(48,41) [(C4 x S3) : C2]1,19,2,12,2,0,12,0,0,0,
Group GAP4(48,42) [C2 x C2 x (C3 : C4)]1,7,2,24,14,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,43) [C2 x ((C6 x C2) : C2)]1,19,2,12,14,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,44) [C12 x C2 x C2]1,7,2,8,14,0,16,0,0,0,换位子群是C_1
Group GAP4(48,45) [C6 x D8]1,11,2,4,22,0,8,0,0,0,
Group GAP4(48,46) [C6 x Q8]1,3,2,12,6,0,24,0,0,0,
Group GAP4(48,47) [C3 x ((C4 x C2) : C2)]1,7,2,8,14,0,16,0,0,0,换位子群是C_2
Group GAP4(48,48) [C2 x S4]1,19,8,12,8,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,49) [C2 x C2 x A4]1,15,8,0,24,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,50) [(C2 x C2 x C2 x C2) : C3]1,15,32,0,0,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,51) [C2 x C2 x C2 x S3]1,31,2,0,14,0,0,0,0,0,
Group GAP4(48,52) [C6 x C2 x C2 x C2]1,15,2,0,30,0,0,0,0,0,
gap> List(DerivedSeriesOfGroup(SmallGroup(48,4)),IdGroup);
[ [ 48, 4 ], [ 3, 1 ], [ 1, 1 ] ]
gap> List(DerivedSeriesOfGroup(SmallGroup(48,5)),IdGroup);
[ [ 48, 5 ], [ 6, 2 ], [ 1, 1 ] ]
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(SmallGroup(48,10)));
[ 96, 209 ]
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(SmallGroup(48,9)));
[ 96, 209 ]
gap> List(DerivedSeriesOfGroup(SmallGroup(48,10)),IdGroup);
[ [ 48, 10 ], [ 6, 2 ], [ 1, 1 ] ]
gap> List(DerivedSeriesOfGroup(SmallGroup(48,9)),IdGroup);
[ [ 48, 9 ], [ 3, 1 ], [ 1, 1 ] ]
gap> List(DerivedSeriesOfGroup(SmallGroup(48,11)),IdGroup); [ [ 48, 11 ], [ 3, 1 ], [ 1, 1 ] ]
gap> List(DerivedSeriesOfGroup(SmallGroup(48,12)),IdGroup); [ [ 48, 12 ], [ 6, 2 ], [ 1, 1 ] ]
2014-6-2补充：
GAP4[ 48, 29 ]=GL(2,3)有1个1阶元，13个2阶元，8个3阶元，6个4阶元，8个6阶元，12个8阶元，0个12阶元，0个16阶元，0个24阶元，0个48阶元
GAP4[ 48, 7 ]=O_2(F_23)有1个1阶元，25个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，2个6阶元，4个8阶元，4个12阶元，0个16阶元，8个24阶元，0个48阶元
C48有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，2个6阶元，4个8阶元，4个12阶元，8个16阶元，8个24阶元，16个48阶元
gap> IdGroup(GO(-1,2,23));
[ 48, 7 ]
gap> IdGroup(GO(1,2,23));
[ 44, 3 ]
gap> G:=SmallGroup(48,7);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,8,12,16,24,48];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 48 with 5 generators>
[ 48, 7 ]
[ 1, 2, 8, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 8, 8, 24, 4, 12, 6, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 8, 24, 24, 24, 12, 12, 6, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 24, 24, 24, 12, 2, 2, 2, 2, 24, 2 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 ]
1,25,2,2,2,4,4,0,8,0,
gap> G:=GL(2,3);IdGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,3,4,6,8,12,16,24,48];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
GL(2,3)
[ 48, 29 ]
[ 2, 8, 8, 4, 6, 3, 4, 6, 3, 2, 8, 8, 1, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 8, 4, 6, 8, 3, 2, 6, 8, 8, 4, 2, 2, 2, 6,
2, 6, 2, 6, 8, 4, 3, 8, 2, 6, 3, 8, 8, 4 ]
[ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 ]
1,13,8,6,8,12,0,0,0,0,
gap> G:=SmallGroup(48,34);IdGroup(G);cl:=NormalSubgroups(G);;len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(IdGroup(cl[i]),","); od;
<pc group of size 48 with 5 generators>
[ 48, 34 ]
27
[ 48, 34 ],[ 24, 4 ],[ 24, 4 ],[ 24, 7 ],[ 24, 9 ],[ 24, 4 ],[ 24, 7 ],[ 24, 4 ],[ 12, 2 ],[ 12, 1 ],[ 12, 2 ],
[ 12, 1 ],[ 12, 5 ],[ 12, 1 ],[ 12, 1 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 8, 2 ],[ 4, 1 ],[ 4, 1 ],[ 4, 2 ],[ 2, 1 ],
[ 2, 1 ],[ 2, 1 ],[ 3, 1 ],[ 1, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(48,11);IdGroup(G);cl:=NormalSubgroups(G);;len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(IdGroup(cl[i]),","); od;
<pc group of size 48 with 5 generators>
[ 48, 11 ]
23
[ 48, 11 ],[ 24, 9 ],[ 24, 7 ],[ 24, 7 ],[ 12, 1 ],[ 12, 1 ],[ 12, 5 ],[ 12, 2 ],[ 12, 2 ],[ 12, 1 ],[ 12, 1 ],
[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 8, 2 ],[ 4, 2 ],[ 4, 1 ],[ 4, 1 ],[ 2, 1 ],[ 2, 1 ],[ 2, 1 ],[ 3, 1 ],[ 1, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(48,12);IdGroup(G);cl:=NormalSubgroups(G);;len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(IdGroup(cl[i]),","); od;
<pc group of size 48 with 5 generators>
[ 48, 12 ]
17
[ 48, 12 ],[ 24, 9 ],[ 24, 7 ],[ 24, 7 ],[ 12, 1 ],[ 12, 1 ],[ 12, 5 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 8, 2 ],[ 4, 2 ],
[ 2, 1 ],[ 2, 1 ],[ 2, 1 ],[ 3, 1 ],[ 1, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(48,13);IdGroup(G);cl:=NormalSubgroups(G);;len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(IdGroup(cl[i]),","); od;
<pc group of size 48 with 5 generators>
[ 48, 13 ]
19
[ 48, 13 ],[ 24, 9 ],[ 24, 7 ],[ 24, 7 ],[ 12, 2 ],[ 12, 2 ],[ 12, 5 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 8, 2 ],[ 4, 1 ],
[ 4, 1 ],[ 4, 2 ],[ 2, 1 ],[ 2, 1 ],[ 2, 1 ],[ 3, 1 ],[ 1, 1 ],

52种48阶群
编号 GAP 序列号性质指数中心 G/[G,G] 共轭类子群子群类正规子群
1 2 循环 48 C3×C16 C3×C16 48 -- -- --
2 23 阿贝尔 24 C2×C3×C8 C2×C3×C8 48 -- -- --
3 20 阿贝尔 12 C3×C42 C3×C42 48 -- -- --
4 44 阿贝尔 12 C22×C3×C4 C22×C3×C4 48 -- -- --
5 52 阿贝尔 6 C24×C3 C24×C3 48 -- -- --
6 7 两面体 24 C2 C22 15 68 22 11
7 27 幂零 24 C2×C3 C22×C3 21 22 18 14
8 26 幂零 24 C2×C3 C22×C3 21 30 20 14
9 25 幂零 24 C2×C3 C22×C3 21 38 22 14
10 24 幂零 24 C3×C4 C2×C3×C4 30 22 20 18
11 47 幂零 12 C3×C4 C23×C3 30 46 40 34
12 22 幂零 12 C22×C3 C2×C3×C4 30 30 26 22
13 21 幂零 12 C22×C3 C2×C3×C4 30 46 34 22
14 46 幂零 12 C22×C3 C23×C3 30 38 38 38
15 45 幂零 12 C22×C3 C23×C3 30 70 54 38
16 1 可解 48 C8 C16 24 12 10 9
17 28 可解 24 C2 C2 8 35 13 5
18 29 可解 24 C2 C2 8 55 16 5
19 18 可解 24 C2 C22 12 32 18 11
20 16 可解 24 C2 C22 12 40 20 11
21 17 可解 24 C2 C22 12 48 20 11
22 15 可解 24 C2 C22 12 56 22 11
23 8 可解 24 C2 C22 15 36 18 11
24 6 可解 24 C2 C22 15 52 20 11
25 10 可解 24 C4 C2×C4 18 28 20 15
26 5 可解 24 C4 C2×C4 18 36 20 13
27 4 可解 24 C8 C2×C8 24 36 22 15
28 9 可解 24 C2×C4 C2×C8 24 28 22 19
29 3 可解 12 1 C3 8 36 10 4
30 30 可解 12 C2 C4 10 52 19 7
31 48 可解 12 C2 C22 10 98 33 9
32 40 可解 12 C2 C23 15 64 38 25
33 39 可解 12 C2 C23 15 72 40 23
34 41 可解 12 C2 C23 15 80 40 23
35 38 可解 12 C2 C23 15 120 54 25
36 33 可解 12 C4 C2×C3 14 37 15 7
37 37 可解 12 C4 C23 18 76 40 23
38 31 可解 12 C4 C3×C4 16 42 19 9
39 32 可解 12 C22 C2×C3 14 41 18 9
40 12 可解 12 C22 C2×C4 18 44 26 17
41 13 可解 12 C22 C2×C4 18 44 26 19
42 19 可解 12 C22 C2×C4 18 60 34 19
43 14 可解 12 C22 C2×C4 18 76 34 17
44 34 可解 12 C22 C23 18 60 38 27
45 43 可解 12 C22 C23 18 108 54 27
46 36 可解 12 C22 C23 18 124 54 27
47 11 可解 12 C2×C4 C42 24 44 30 23
48 35 可解 12 C2×C4 C22×C4 24 92 54 35
49 42 可解 12 C23 C22×C4 24 76 54 43
50 50 可解 6 1 C3 8 104 34 8
51 49 可解 6 C22 C22×C3 16 92 39 15
52 51 可解 6 C23 C24 24 236 134 83