01背包

什么是背包问题

　　背包问题(Knapsack problem)可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的价格和价值，在限定的总价格内，我们如何选择，才能使得物品的总价值最高。

什么是01背包

　　01背包指的就是每件物品要么选，要么不选。如果选，只能选一件。

如何求解01背包

         先来分析一下01背包的特征。结果我们发现01背包具有最优子结构（自己去查这是什么意思）。有最有子结构的问题自然要用动态规划来解。

         说道动态规划，就一定要有动态转移方程。

第一件事就是确定转移方程的维度。容易看出，转移方程有两个维度，分别是价值和价格。

接下来就是确定转移方程。我们先考虑在空间为m，有n-1件物品时的最优解，然后判断选或不选第n件物品的价值，取最大值作为f(n, m)的值。可得转移式为

f(n,m)=max⁡{ f(n-1,m),f(n-1,m-w[n])+v[n] }

　　其实这个时候就可以求解01背包了。但是二维的转移矩阵往往出现爆空间的情况。于是就要进行优化。

优化动态转移矩阵

         由上表和转移矩阵可以得出当前节点只会依赖到上面一行的数据，这样就可以吧二维数组压缩到两个一维数组。像放鞭炮一样往下放。

 

　　这样其实已经很好了，空间被优化成线性。但是这样做有一个缺点，就是两个数组来回倒会大大增加代码的长度和调试时间。那把数组直接优化成一维不就好了吗？可以的。因为我们发现，当前格子只可能依赖到自己上面和左边的格子，不可能依赖到自己右面的格子。

那么就可以把数组压缩成一维的。但是计算要逆序，不然就会覆盖掉上次的计算结果，导致计算出错。

此时，转移方程就变成了

f(m)=max⁡{ f(m),f(m-w[n])+v[n] }

再次强调，v要逆序！像这样：

1.    memset(f,0,sizeof f);  
2.    for (int n = 0; n < N; ++n) {  
3.        for (int m = M; M >= 0; ++m) {  
4.            f[m] = max(f[m], f[m - w[n]] + v[n])  
5.        }  
6.    }