Codechef TAPAIR Counting the important pairs 随机化、树上差分
题意：给出一个$N$个点、$M$条边的无向连通图，求有多少组无序数对$(i,j)$满足：割掉第$i$条边与第$j$条边之后，图变为不连通。$N \leq 10^5 , M \leq 3 \times 10^5$
竟然随机化，歪果仁的思想好灵活qwq肯定是数据结构做多了
看起来很像割边，考虑$tarjan$，但是边三连通分量并不是很好实现，而且有很多特殊情况需要判断，所以我们考虑另外的算法
考虑$tarjan$时建出的一棵树。对于它来说，在一个端点在其下方、另一个端点在其上方的的返祖边可以成为它的依靠，因为割掉它，这一条依靠边可以代替它的功能。而对于一条返祖边来说，割掉对于树边是没有影响的，我们就定义它自己为自己的依靠。
这样每一条边都有自己的依靠集合。考虑两条依赖集合相同的边，将它们割掉之后，中间一段的点就会因为上下都没有额外的依靠而使得图不连通。而对于一条依赖集合为空的边（即割边），它选择任何边都可以加入贡献。
所以我们现在需要考虑如何给某一段边加入贡献。然后CC的题解给出的玄学办法是：随机化+树上差分+XOR
我们考虑将给一条返祖边定权值为一个$random$出来的值$t$，然后把所有依靠它的边的依靠集合异或上这个值，这个可以树上差分去做。这样所有的依靠集合就变成了一个数。然后我们判断两条边的依靠集合对应的数是否相等即可。
Because 2^64 is large enough comparing to the range of N and M, don't worry about the probability. :) You will get AC if you implemented correctly.——原题题解
然而我$rand() WA$了好几发qwq
如果随机数种子出了问题的话就看下面这种玄学rand好了
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define CC 3 using namespace std; 4 5 inline int read(){ 6 int a = 0; 7 bool f = 0; 8 char c = getchar(); 9 while(c != EOF && !isdigit(c)){ 10 if(c == '-') 11 f = 1; 12 c = getchar(); 13 } 14 while(c != EOF && isdigit(c)){ 15 a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ '0'); 16 c = getchar(); 17 } 18 return f ? -a : a; 19 } 20 21 const int MAXN = 100010; 22 struct Edge{ 23 int end , upEd; 24 }Ed[MAXN * 6]; 25 int head[MAXN] , num[MAXN] , dep[MAXN] , fa[MAXN] , N , cntEd , cnt; 26 unsigned long long point[MAXN] , forS[MAXN * 3]; 27 bool vis[MAXN]; 28 29 #define ll unsigned long long 30 inline ll rp(){return (1ll*rand())^(1ll*rand())<<15^(1ll*rand())<<30^(1ll*rand())<<45^(1ll*rand())<<60;} 31 32 inline void addEd(int a , int b){ 33 Ed[++cntEd].end = b; 34 Ed[cntEd].upEd = head[a]; 35 head[a] = cntEd; 36 } 37 38 void dfs1(int x , int t){ 39 fa[x] = t; 40 dep[x] = dep[fa[x]] + 1; 41 vis[x] = 1; 42 for(int i = head[x] ; i ; i = Ed[i].upEd) 43 if(!vis[Ed[i].end]) 44 dfs1(Ed[i].end , x); 45 else 46 if(dep[Ed[i].end] > dep[x]){ 47 long long t = rp(); 48 point[x] ^= t; 49 point[Ed[i].end] ^= t; 50 forS[++cnt] = t; 51 } 52 } 53 54 void dfs2(int x){ 55 for(int i = head[x] ; i ; i = Ed[i].upEd) 56 if(fa[Ed[i].end] == x){ 57 dfs2(Ed[i].end); 58 point[x] ^= point[Ed[i].end]; 59 } 60 if(x != 1) 61 forS[++cnt] = point[x]; 62 } 63 64 int main(){ 65 #ifdef CC 66 freopen("TAPAIR.in" , "r" , stdin); 67 freopen("TAPAIR.out" , "w" , stdout); 68 #endif 69 70 N = read(); 71 int M = read(); 72 for(int i = 1 ; i <= M ; i++){ 73 int a = read() , b = read(); 74 addEd(a , b); 75 addEd(b , a); 76 } 77 dfs1(1 , 0); 78 dfs2(1); 79 sort(forS + 1 , forS + cnt + 1); 80 int p = 1; 81 while(p <= cnt && forS[p] == 0) 82 p++; 83 long long ans = (p - 1) * (long long)(p - 2) / 2 + (p - 1) * (M - p + 1); 84 while(p <= cnt){ 85 int beg = p; 86 while(p <= cnt && forS[p] == forS[beg]) 87 p++; 88 ans += (long long)(p - beg) * (p - beg - 1) / 2; 89 } 90 cout << ans; 91 return 0; 92 }
