《决策单调性与四边形不等式》的一个证明补充

今天一个小朋友来问我这个远古课件里环上邮局的一个证明问题，发现课件上写的很模糊而且我不会证了，于是换了个方法证一遍。

这里给出 58 页 \(y_i \in [x_i,x_{i+1}]\) 的详细证明：

不失一般性假设 \(y_k < L\)。设 \(x_{k+2} = x_2 + L\)，首先通过对 \(x_{1 \sim k+1}\) 和 \(y_{1 \sim k+1}\) 应用路径单调性可以得出 \(y_i \ge x_i\)。接下来我们希望通过对 \(x_{2 \sim k+2}\) 和 \(y_{1 \sim k+1}\) 应用路径单调性得到 \(y_i \le x_{i+1}\)，但存在两个问题：\(y_1\) 可能大于 \(x_2\)，同时不容易证明 \(x_{2 \sim k+2}\) 字典序最小。
对于 \(y_1 > x_2\) 的情况，用单调性类似的交换方法证明其不存在：找到最小的 \(k\) 使得 \(y_k \le x_{k+1}\)，\(k=L\) 时该式总是成立所以 \(k\) 良定义，然后交换 \(y_{1 \sim k-1}\) 和 \(x_{2 \sim k}\)。利用四边形不等式的性质，两者路径长度和不降且字典序均改变，故 \(x\) 和 \(y\) 中某一条要么不是最短路，要么不是字典序最小的。
\(x_{2 \sim k+2}\) 是不是字典序最小的路目前我不会证，有深刻理解的老哥欢迎评论。但实际上由于 \(x_{2 \sim k+2}\) 是 \(x_{1 \sim k+1}\) 的循环移位，所以用路径单调性的交换方法再加上一些讨论是可以直接推出的。接下来进行具体论述。
如果 \(x_{2 \sim k+2}\) 和 \(y_{1 \sim k+1}\) 不符合路径单调性条件 \(y_i \le x_{i+1}\)，根据路径单调性的证明，存在 \(x_{p \sim q}\) 和 \(y_{p-1 \sim q-1}\) 交换之后不改变两条路的起点终点且至少一条路更优。如果 \(x_{p \sim q}\) 不包含 \(x_{k+1} = L\)，那么交换过后 \(x_{2 \sim k+2}\) 的字典序变小直接反映为 \(x_{1 \sim k+1}\) 的字典序变小；如果 \(x_{k+1}\) 换给了 \(y\)，那么 \(y\) 就变成了那个 \(0\) 开始的序列。因为构成两条路径的点集始终不变，就算交换了 \(x\) 和 \(y\) 的角色也一定会有一条路变得更优。