NOI2022 二次整数规划问题

解题报告：https://files.cnblogs.com/files/Itst/qip-sol.zip?t=1661736219

关于这题的出题灵感和过程：

今年一月的时候做了 某道 POI 题，当时花了一个小时想到了每个点都尽可能放在最短路为 $2$ 和 $3$ 的位置的做法，然后感觉这个 $250$ 就很 magic number，所以多想了想给这个最短路限制加 $1$ 怎么做。

当时想这个题的时候就是把最短路的限制写成线性规划的形式，这样就直接得到本题只有 $|x_i - x_j| \leq 1$ 的三元组限制的版本，原题是 $k=4$，加了 1 之后就是 $k = 5$，所以这也是我在 NOI 这个题里特地出很奇怪的权值函数让 $1$ 和 $k$ 不优的原因。希望没有人因为做过这个题获得太大的收益，不过因为 $k=4$ 没几个分所以看起来也没有。

当时大概再想了一个多小时发现权值函数对 $(c_2,c_4)$ 是凸的然后就是一个“最小乘积切糕”，感觉这个题就很有新意，又有经典算法应用又有 adhoc 的分析很综合，所以就一直屯着到 NOI 了。

但是当时还不太会分析网络流复杂度，大概在网上冲浪了一段时间找到了现在解题报告里的那个小权网络流的复杂度分析，感觉其用处还挺大的但是好像 OI 里不普及。不过现在看起来这题直接套二分图的 $O(N maxflow^{0.5})$ 好像也可以。

接下来为了让这个题看起来不太像原题，就给每个点都加了个二元组限制（反正原题也得跑个类似的差分约束），然后直接把题面写成线性规划的形式这样大家就看不出来了！!1

造数据的时候把重点放在造很大的凸包上了，然后随机询问发现随机多一点凸包上所有点都能问到，所以就直接随了，好像没有把凸包上三分的错解弄掉，谢罪。不过不影响赛时分数就没有关系吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int _ = 603 , __ = 3003 , G = 1e6;
int C , K , N , M , Q , L[_] , R[_] , S[__] , T[__] , X[__] , cnt[6] , V[6] , sz[_] , bel[_]; 
vector < int > id[_];

int calc(){
	int sum = 0; for(int i = 2 ; i <= K - 1 ; ++i) sum += V[i] * cnt[i];
	for(int i = 1 ; i <= K ; ++i) for(int j = 1 ; j <= K ; ++j) if(abs(i - j) <= 1) sum += G * cnt[i] * cnt[j];
	return sum;
}

struct pii{
	int x , y; pii(int _x = 0 , int _y = 0):x(_x) , y(_y){}
	friend pii operator -(pii p , pii q){return pii(p.x - q.x , p.y - q.y);}
	pii rot(){return pii(y, -x);}
	friend int operator %(pii p , pii q){return p.x * q.y - p.y * q.x;}
}; vector < pii > hull; vector < vector < int > > hull_val;

const int MAX = 5e4 + 7; struct Edge{int end , upEd , f;}Ed[MAX];
int head[__] , cur[__] , dep[__] , cntEd , tar; queue < int > q;
void init(int t){tar = t; memset(head , 0 , sizeof(int) * (tar + 1)); cntEd = 1;}
void addEd(int x , int y , int c){Ed[++cntEd] = (Edge){y , head[x] , c}; head[x] = cntEd;}
void addE(int x , int y , int c){addEd(x , y , c); addEd(y , x , 0);}

bool bfs(){
	memset(dep , 0 , sizeof(int) * (tar + 1)); memcpy(cur , head , sizeof(int) * (tar + 1)); while(!q.empty()) q.pop();
	q.push(0); dep[0] = 1;
	while(!q.empty()){
		int t = q.front(); q.pop();
		for(int i = head[t] ; i ; i = Ed[i].upEd)
			if(Ed[i].f && !dep[Ed[i].end]){dep[Ed[i].end] = dep[t] + 1; q.push(Ed[i].end); if(Ed[i].end == tar) return 1;}
	}
	return 0;
}

int dfs(int x , int v){
	if(x == tar) return v;
	int sum = 0;
	for(int &i = cur[x] ; i ; i = Ed[i].upEd)
		if(Ed[i].f && dep[Ed[i].end] == dep[x] + 1){
			int f = dfs(Ed[i].end , min(Ed[i].f , v - sum)); sum += f; Ed[i].f -= f; Ed[i ^ 1].f += f;
			if(sum == v) break;
		}
	return sum;
}

pii dinic(){
	while(bfs()) dfs(0 , 1e15);
	pii ans;
	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
		if(L[i] >= 2 && R[i] <= 4 && ~sz[i])
			if(!dep[i]) ans.x += sz[i];
			else if(dep[i + N]) ans.y += sz[i];
	return ans;
}

void hull_div(pii hL , pii hR){
	pii dir = (hL - hR).rot(); init(2 * N + 1);
	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
		if(L[i] >= 2 && R[i] <= 4 && ~sz[i]){
			addE(0 , i , L[i] >= 3 ? 1e9 : dir.y * sz[i]);
			addE(i , N + i , L[i] == 4 || R[i] == 2 ? 1e9 : (dir.x + dir.y) * sz[i]);
			addE(N + i , tar , R[i] <= 3 ? 1e9 : dir.x * sz[i]);
		}
	for(int i = 1 ; i <= M ; ++i){
		int x = bel[S[i]] , y = bel[T[i]];
		if(x != y && ~sz[x] && ~sz[y] && X[i] == 1){
			addE(x + N , y , 1e9); addE(y + N , x , 1e9);
		}
	}
	pii mid = dinic(); if((hR - mid) % (hL - mid)){hull.push_back(mid); hull_div(hL , mid); hull_div(mid , hR);}
}

void hull_prepare(){
	hull.clear(); hull.push_back(pii(cnt[2] , cnt[4]));
	int num2 = 0 , num4 = 0; for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){num2 += L[i] == 2; num4 += R[i] == 4;}
	hull.push_back(pii(num2 , cnt[4])); hull.push_back(pii(cnt[2] , num4)); hull_div(hull[2] , hull[1]);
	memset(V , 0 , sizeof(V)); hull_val.clear();
	for(auto t : hull){
		cnt[2] = t.x; cnt[4] = t.y; cnt[3] = N - t.x - t.y - cnt[1] - cnt[5];
		hull_val.push_back({calc() , cnt[2] , cnt[3] , cnt[4]});
	}
}

signed main(){
	//freopen("qip.in","r",stdin); freopen("qip.out","w",stdout); freopen("qip.log","w",stderr);
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	for(cin >> C >> C ; C ; --C){
		memset(cnt , 0 , sizeof(cnt)); cin >> K >> N >> M >> Q; for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){cin >> L[i] >> R[i]; sz[i] = 0; id[i].clear();}
		for(int i = 1 ; i <= M ; ++i){cin >> S[i] >> T[i] >> X[i]; id[S[i]].push_back(i); id[T[i]].push_back(i);}
		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) for(int j = 1 ; j <= N ; ++j) for(auto p : id[j]){int x = S[p] + T[p] - j; L[x] = max(L[x] , L[j] - X[p]); R[x] = min(R[x] , R[j] + X[p]);}
		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){if(R[i] != 1 && L[i] != K){L[i] = max(L[i] , 2ll); R[i] = min(R[i] , K - 1);} if(L[i] == R[i]) ++cnt[L[i]]; else ++cnt[0];}
		if(K == 5){
			for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
				if(~sz[i]){
					int cnt = 0; queue < int > q; q.push(i); sz[i] = -1;
					while(!q.empty()){
						int t = q.front(); q.pop(); ++cnt; bel[t] = i;
						for(auto p : id[t]){int x = S[p] + T[p] - t; if(X[p] == 0 && ~sz[x]){sz[x] = -1; q.push(x);}}
					}
					sz[i] = cnt;
				}
			hull_prepare();
		}
		while(Q--){
			for(int i = 2 ; i <= K - 1 ; ++i) cin >> V[i];
			switch(K){
			case 3: cout << calc() << '\n'; break;
			case 4:
				static int V2 , V3;
				cnt[2] += cnt[0]; V2 = calc(); cnt[2] -= cnt[0];
				cnt[3] += cnt[0]; V3 = calc(); cnt[3] -= cnt[0];
				cout << max(V2 , V3) << '\n'; break;
			case 5:
				static int mxans; mxans = 0;
				for(auto t : hull_val) mxans = max(mxans , t[0] + t[1] * V[2] + t[2] * V[3] + t[3] * V[4]);
				cout << mxans << '\n';
			}
		}
	}
	return 0;
}