CF932F Escape Through Leaf 斜率优化、启发式合并
\(DP\)
设\(f_i\)表示第\(i\)个节点的答案，\(S_i\)表示\(i\)的子节点集合，那么转移方程为\(f_i = \min\limits_{j \in S_i} \{a_i \times b_j + f_j\}\)
这是一个很明显的斜率优化式子，斜率为\(b_j\)，截距为\(f_j\)，自变量为\(a_i\)。考虑到斜率没有单调性，所以使用set维护凸包。
使用set维护凸包比较简单。一条直线插入时，先判断这条线段在当前凸包中是否合法，然后不断把两边不合法的直线删去。具体的实现看下面代码的insert函数吧
然后如何将一个点所有儿子的set合并为自己的set呢？使用启发式合并来保证复杂度。
最后，知道了当前点的所有儿子节点的凸包，如何计算当前点的答案？正解是二分斜率，因为你没法在set上直接二分直线。
总复杂度为\(O(nlog^2n)\)
还可以通过dfn序将树上问题转化为序列问题，对一个点有贡献的是一段连续区间，就可以用CDQ分治解决。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ld long double
//This code is written by Itst
using namespace std;
inline int read(){
int a = 0;
bool f = 0;
char c = getchar();
while(c != EOF && !isdigit(c)){
if(c == '-')
f = 1;
c = getchar();
}
while(c != EOF && isdigit(c)){
a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ '0');
c = getchar();
}
return f ? -a : a;
}
const int MAXN = 100010;
struct Edge{
int end , upEd;
}Ed[MAXN << 1];
struct node{
int k , b;
}now;
set < node > s[MAXN];
long long sum[MAXN] , a[MAXN] , b[MAXN] , minN[MAXN] , fa[MAXN] , size[MAXN] , head[MAXN] , N , cntEd;
bool operator <(node a , node b){
return a.k < b.k || (a.k == b.k && a.b < b.b);
}
inline void addEd(int a , int b){
Ed[++cntEd].end = b;
Ed[cntEd].upEd = head[a];
head[a] = cntEd;
}
void dfs(int now , int f){
fa[now] = f;
size[now] = 1;
for(int i = head[now] ; i ; i = Ed[i].upEd)
if(Ed[i].end != f){
dfs(Ed[i].end , now);
size[now] += size[Ed[i].end];
}
if(size[now] == 1)
minN[now] = 0;
}
inline ld calcNode(node a , node b){
return (a.b - b.b) / (ld)(b.k - a.k);
}
inline void insert(int now , int k , int b){//插入一条斜率为k、截距为b的直线
node x , l , r;
x.k = k;
x.b = b;
set < node > :: iterator it = s[now].lower_bound(x);
if(it != s[now].end() && (*it).k == k){//判断是否存在斜率相同的直线
s[now].erase(it);
it = s[now].lower_bound(x);
}
else
if(it != s[now].begin() && (*--it).k == k)
return;
it = s[now].lower_bound(x);
if(it != s[now].begin() && it != s[now].end()){
l = *it , r = *(--it);
if(calcNode(r , x) < calcNode(l , r) && calcNode(l , r) < calcNode(l , x))//判断这一条直线是否能够被加入当前凸包
return;
++it;
}
while(1){//向两边删去不合法直线
it = s[now].lower_bound(x);
if(it == s[now].end())
break;
l = *it;
if(++it == s[now].end())
break;
r = *it;
if(calcNode(l , r) > calcNode(l , x) && calcNode(l , r) > calcNode(r , x))
s[now].erase(--it);
else
break;
}
while(1){
it = s[now].lower_bound(x);
if(it == s[now].begin())
break;
l = *(--it);
if(it == s[now].begin())
break;
r = *(--it);
if(calcNode(l , r) < calcNode(l , x) && calcNode(l , r) < calcNode(r , x))
s[now].erase(++it);
else
break;
}
s[now].insert(x);
}
inline void merge(int root , int now){
bool f = 0;
if(size[root] < size[now]){
swap(root , now);
f = 1;
}
for(set < node > :: iterator it = s[now].begin() ; it != s[now].end() ; ++it)
insert(root , (*it).k , (*it).b);
if(f){
s[now] = s[root];
swap(now , root);
}
s[now].clear();
}
void dsu(int now){//别被误导了，这个不是dsu on tree
if(size[now] == 1){
insert(now , b[now] , minN[now]);
return;
}
for(int i = head[now] ; i ; i = Ed[i].upEd)
if(Ed[i].end != fa[now]){
dsu(Ed[i].end);
merge(now , Ed[i].end);
}
int l = -1e5 - 1 , r = 1e5 + 1;
set < node > :: iterator it;
node L , R;
while(l < r){
int mid = l + r >> 1;
it = s[now].lower_bound((node){mid , (long long)-1e15});
if(it == s[now].begin()){
l = mid + 1;
continue;
}
if(it == s[now].end()){
r = mid;
continue;
}
L = *it;
R = *(--it);
if(R.k * a[now] + R.b >= L.k * a[now] + L.b)
l = mid + 1;
else
r = mid;
}
L = *s[now].lower_bound((node){l - 1 , (long long)-1e15});
minN[now] = L.k * a[now] + L.b;
insert(now , b[now] , minN[now]);
}
signed main(){
N = read();
memset(minN , 0x3f , sizeof(minN));
for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
a[i] = read();
for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
b[i] = read();
for(int i = 1 ; i < N ; i++){
int a = read() , b = read();
addEd(a , b);
addEd(b , a);
}
dfs(1 , 0);
dsu(1);
for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
cout << minN[i] << ' ';
return 0;
}
