CF629C题解

CF629C

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题意

给定长度为 $m$ 的仅含 ( 和 ) 的字符串，为其左右补上两个字符串使其达到指定长度 $n$ 且合法, 需补足字符串合计长度 $n-m$ 满足 $n-m\le 2000$。

解析

字符串合法条件为：

左右括号总数相等；

从左数起在任意位置上左括号数量不小于右括号数量。

首先思考下左侧的合法状况，设 $f_{i,j}^1$ 为前 $i$ 个字符使用了 $j$ 个 ( 时的方案数，有 $f_{0,0}^1=1$，得到状态转移方程为：

$$f_{i,j}^1=f_{i-1,j-1}^1+f_{i-1,j}^1$$

然后思考下另一侧，题意表明左右括号总数相等，且从左数起一定有左括号数 $l$ 不小于右括号数 $r$，即

$$l\ge r$$

可化成

$$\frac{n}{2}-l\le \frac{n}{2}-r$$

即从右数起在任意位置上右括号数量不小于左括号数量。由此，可设 $f_{p,q}^2$ 为从右数起前 $p$ 个字符使用了 $q$ 个 ) 时的方案数，状态转移方程同上。

最后，枚举左右状态并利用乘法原理即可算出答案，设需补足的右括号共为 $tr$ 个，对于任意状态下都有 $p=n-m-i$ 和 $q=tr-(i-j)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long 

using namespace std;

vector<vector<LL> > dp1(2005, vector<LL>(2005, 0)), dp2(2005, vector<LL>(2005, 0));
LL mod = 1000000007;
//要开long long，不然#4可能会炸精度

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);

	LL n, m, tl = 0, tr, nl = 0, nr = 0, ml = 0, mr = 0, ans = 0;
	string s;
	cin >> n >> m;
	getline(cin, s);
	getline(cin, s);

	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		tl += s[i] == '(';
		nl += 2 * (s[i] == ')') - 1; //计算当前右左括号数量差
		ml = max(ml, nl); //存储最大差值
						  //左方插入字符串左右括号数量差至少达到ml
	}
	//反向遍历一次计算左右括号数量差值，作用同上
	for (int i = m - 1; i > -1; i--)
	{
		nr += 2 * (s[i] == '(') - 1;
		mr = max(mr, nr);
	}

	if (tl > n / 2 || m - tl > n / 2 || n & 1)
	{
		//将完全不合法的情况直接排除
		cout << "0";
		return 0;
	}
	tl = n / 2 - tl;
	tr = n - m - tl;
	//tl和tl分别表示外部插入字符串总共需要的左右括号数量

	//计算左侧合法情况
	dp1[0][0] = 1;
	for (LL i = 1; i <= min(n - m, tl * 2); i++)
		for (LL j = 0; j <= min(i, tl); j++)
			if (i - j <= j && i - j <= tr)
				dp1[i][j] = (dp1[i - 1][j - 1] + dp1[i - 1][j]) % mod;

	//计算右侧合法情况
	dp2[0][0] = 1;
	for (LL i = 1; i <= min(n - m, tr * 2); i++)
		for (LL j = 0; j <= min(i, tr); j++)
			if (i - j <= j && i - j <= tl)
				dp2[i][j] = (dp2[i - 1][j - 1] + dp2[i - 1][j]) % mod;

	//乘法原理计算答案
	for (int i = 0; i <= n - m; i++)
		for (int j = 0; j <= i; j++)
			if (j - (i - j) >= ml && tr - (i - j) - (tl - j) >= mr) //判断左右侧的左右括号数是否达到要求
				ans = (ans + dp1[i][j] * dp2[n - m - i][tr - i + j]) % mod;

	cout << ans;
}

最后祝各位顺利AC。 >w<