关于树上信息的维护（持续更新因为后面没听懂（逃））
1.Dfs序的一些奇奇怪怪的操作和改进
所谓dfs序，就是一棵树被 dfs 时所经过的节点的顺序。一般的作用是维护子树信息，如果记录 dfn[i] 表示 i 号点的 dfs 序，sze[i]表示 i 号点的子树大小，那么 x 是 y 的祖先等价于:dfn[y] ∈ [dfn[x], dfn[x]+sze[x]−1]
那么我们就可以利用dfs序来进行一些树上的操作：
1.维护一棵树，支持：子树加，链加，单点求值。
对于子树加，相当于是 dfs 序列上的区间加。
对于链加，可以看作是一个点到根上的路径加。
可以把这次的修改放到这个点上，然后单点查询的时候在子树内区间询问贡献。
2.维护一棵树，支持：子树加，链加，子树求和。
对于子树加，相当于是 dfs 序列上的区间加。
对于链加，可以看作是一个点到根上的路径加。
一个修改 (x,W) 对 y 有贡献当且仅当 y 为 x 的祖先。且贡献为(dep[x]−dep[y]+1)∗W。
分离变量，即为dep[x]∗W+(1−dep[y])∗W。
所以维护两个区间和就行了。
3.维护一棵树，支持：单点加，链求和。
对于链求和，可以看作是一个点到根上的路径求和。
一个修改 (x,W) 对 y 有贡献当且仅当 x 为 y 的祖先。
相当于支持区间加，单点求值。
4.维护一棵树，支持：子树加，链求和。
对于链求和，可以看作是一个点到根上的路径求和。
一个修改 (x,W) 对 y 有贡献当且仅当 x 为 y 的祖先，且贡献为(dep[y]−dep[x]+1)∗W。
分离变量，即为(dep[y]+1)∗W−dep[x]∗W。
维护两个区间和即可。
5.维护一棵树，支持：子树加，链加，链求和。
子树加对于链求和，可以看作是一个点到根上的路径求和。
关于链加，(x,W) 对 y 的贡献分开讨论：
(1)若 x 为 y 的祖先，那么贡献为 depx ∗W。
(2)若 y 为 x 的祖先，那么贡献为 depy ∗W
分开维护贡献即可。
然后将这些东东结合起来，就可以出一些毒瘤题了（逃）~
关于dfs序的一些小改进
1.括号序列
考虑 dfs 序，在 dfs 完一个点的时候，我们同样把他加入序列，这样的得到的序列叫做括号序列。对于一棵有根树，
如果子节点有序，那么这棵树唯一对应着一个括号序列。
例如下图：
这棵树的括号序列就是1233442551，我们发现，如果用左右括号来代替进与出，那么整个序列就可以变成( ( ( ) ( ) ) ( ) )，由这个序列我们可以还原出这棵树及其dfs序，由此可见，括号序列与树是唯一对应的。
这里贴一道例题：BZOJ4337 树的同构，传送门：https://blog.csdn.net/g21glf/article/details/82952739
然后再口胡一道例题：
给定一棵树，支持给某个点换父亲，子树修改，查询某个点子树点权和。
题解：结合括号序列，可以发现，一个子树一定在他的根节点的括号内，那么对于换父亲，就是将一段括号从一个括号内移动到另一个括号内，用平衡树来维护区间的左括号和，支持区间挪动，区间加即可。
2.欧拉序
考虑dfs序，在dfs完一个点的某个子树的时候，我们把他加入序列，这样得到的序列叫做欧拉序，还是上图：
这棵树的欧拉序就是12332441551，然而看了是不是很头大？没关系，咱们随便在树上找两个点，看看他们和他们的lca在欧拉序中的位置关系，没错，我们发现两棵不同子树之间一定“夹”住了他们的lca，由这个性质我们可以利用st表进行O(nlog n)的预处理，然后就能实现O(1)复杂度求lca了！（然而还是树剖比较简单，下次更新就写树剖）
2.关于树链剖分的一些感受
树和序列其实有相同之处，我们可以把树分成若干个序列来维护。常用的技巧就是树链剖分。
我们把一棵树的边分为轻边和重边，保证每个节点与它的儿子之间只有一条重边，如下图：
其中红色加粗边就是这棵树的重边，具体的，size[u]记表示以 u 为根的子树的结点个数，令v为u所有儿子中size值最大的一个儿子，则(u,v)为重边，v称为u的重儿子。u到其余儿子的边为轻边。
这样每个点都可以沿着重边往下走到某个叶子节点，或者往上走到某条轻边或者根节点。我们可以把这一段信息一起维护。这样这棵树的信息就会被储存在若干条链上，这就是树链剖分的本质。
轻重边有如下几个性质：
1.如果(u,v)为轻边，那么size[v]<=size[u]/2（否则v就是重儿子）。
2.从根到某一点v的路径上最多有log n条轻边（每经过一条轻边，节点数至少缩为原先的一半，最多log次就为0）
3.我们称某条路径为重路径（链），当且仅当它全部由重边组成。那么对于每个点到根的路径上都不超过 O(log n) 条轻边和 O(log n) 条重路径。（因为每条重路径两端都是轻边，最多有log n条轻边，就最多有log n条重路径）
利用树链剖分求LCA
首先，x,y的LCA要么在两个点所在重链上，或者在该重链上方的重链上。
当 x, y不在一条重链上时，dep[top]较小的点所在的重链肯定不是要求的链，我们把这个点向上跳到fa[top]处。
当在一条链上时，深度较小的点为LCA。
因为一个点最多跳O(log n)次，所以时间复杂度为O(log n)，而且常数比倍增小。
代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=2e5+10; int n,m,cnt; int head[MAXN],depth[MAXN],fa[MAXN],son[MAXN],siz[MAXN]; int nxt[MAXN],to[MAXN]; void add(int x,int y) { cnt++; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt; to[cnt]=y; } void dfs1(int x,int fa) { depth[x]=depth[fa]+1; siz[x]=1; for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int v=to[i]; if(v!=fa) { fa[v]=x; dfs1(v,u); siz[x]+=siz[v]; if(son[x]<siz[v]) son[x]=v; } } } void dfs2(int x,int fa) { if(x==son[fa]) top[x]=top[fa]; else top[x]=x; for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int v=to[i]; if(v!=fa) dfs2(v,u); } } void init(int root) { dfs1(root,-1); dfs2(root,-1); } int lca(int x,int y) { while(top[x]!=top[y]) { if(depth[top[x]]<depth[top[y]]) swap(x,y); x=fa[top[x]]; } return depth[x]<depth[y]?x:y; } int n,m,x,y; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;++i) { scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y),add(y,x); } int q; scanf("%d",&q); while(q--) { scanf("%d%d",&x,&y); printf("%d\n",lca(x,y)); } return 0; }
例题：BZOJ1036，题目+题解传送门：https://blog.csdn.net/g21glf/article/details/82956343
然后就是利用树链剖分进行的一系列操作，待更新。。。
2018.10.7.12:00
