NOIP模拟 棋盘问题（曼哈顿距离与切比雪夫距离）

【题目描述】

小 O 对国际象棋有着浓厚的兴趣，因为他水平高超，每次人机对战他总是轻松获胜，所 以他决定自己跟自己下国际象棋。

小 O 的棋盘非常大，达到了 1e9*1e9，现在他在棋盘上摆放了 n 个国王，并对你提出 了 q 次询问，每次询问指定一个坐标，问将所有国王从初始位置全部移动到这个坐标所需要 的最小步数是多少，询问之间相互独立，也就是说每次询问结束后国王会全部回到原来位置。

注意：由于小 O 担心大家无法理解过于高深的规则，所以在本题中，国王之间不会发生 相互攻击而且多个国王可以同时处在一个格子中， 国际象棋中国王一步只能移动到与其八 连通的格子中。

【输入格式】

第一行一个正整数 T 表示数据组数。

对于每组数据，共有(n+q+1)行：

第一行两个数字 n,q 分别表示国王数量和询问数量。

接下来 n 行，每行两个数字 Kxi,Kyi 表示国王所在坐标。

接下来 q 行，每行两个数字 Txi,Tyi 表示目标坐标。

【输出格式】

对于每组数据，输出共有 q 行，每行一个整数表示对应询问的答案。

【样例输入】

1

1 1

233 666

666 233

【样例输出】

433

【备注】

本题共 7 个测试点，不采用 subtask 评测，但每个测试点分值不同.

数据范围中的 X,Y 范围表示 Kxi,Kyi,Txi,Tyi 的范围，未标注即为没有特殊限制

对于全部数据，满足 N 的总和不超过 10^6 且 Q 的总和不超过 10^6，输入文件中所有数 字均为正整数且不超过 10^9.

~1：1pt，满足 T=n=q=X=Y=1；

~2：3pts，满足 T=1，1<=X,Y<=5，1<=n<=5，q=1；

~3：16pts，满足 T=1，1<=X,Y<=5，1<=n<=5；

~4：11pts，满足 T=1，1<=X,Y<=1000，1<=n,q<=5000；

~5：21pts，满足所有数据中 NQ 的总和不超过 5e7；

~6：22pts，满足 T=1，1<=X,Y<=1000；

~7：26pts，无特殊限制。

【题目分析】

看看这个题目，我就知道————我不会做，暴力打了就溜了。

再看这个做法，更懵了，之前完全不知道什么切比雪夫距离啊。。。。。。。。

好的现在来扯一扯正解（感谢zxy大佬的细心讲解，强势打call：https://blog.csdn.net/zxyoi_dreamer）：（有关曼哈顿距离和切比雪夫距离的关系我会专门写一篇博客，传送门先放在这：）

首先我们注意到，对于每次询问qx,qy，最后的答案ans为下面这个式子：

这就是大名鼎鼎的切比雪夫距离了，那么对于前5个点，直接暴力求解即可，那么来考虑最后两个点。

通过证明，我们可以发现切比雪夫距离可以通过将坐标系旋转45度转化为曼哈顿距离，所以对所有切比雪夫距离求和就转化为曼哈顿距离求和，这样最后的ans就为下面这个式子：

所以我们发现，这样的话x与y就相互独立了，现在就转化为下面这个式子：

所以我们可以先将x‘和y’按大小排序，然后维护一个前缀和，对于每一次查询qx,qy，只用在x‘中和y’中分别找到大小位置，然后计算贡献即可。最后的答案就是ans/2（因为转曼哈顿距离的时候扩大了2倍）

（总之这种题不是蒟蒻做的起的。。。）

【代码~】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MAXN=1e6+10;

LL n,q;
LL x[MAXN],y[MAXN];
LL xx[MAXN],yy[MAXN];
LL Read()
{
	LL i=0,f=1;
	char c;
	for(c=getchar();(c>'9'||c<'0')&&c!='-';c=getchar());
	if(c=='-')
	  f=-1,c=getchar();
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
	  i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
	return i*f;
}

int main()
{
	LL T=Read();
	while(T--)
	{
		n=Read(),q=Read();
		for(LL i=1;i<=n;++i)
		{
			x[i]=Read(),y[i]=Read();
			LL tx=x[i]-y[i],ty=x[i]+y[i];
			x[i]=tx,y[i]=ty;
		}
		sort(x+1,x+n+1);
		sort(y+1,y+n+1);
		for(LL i=1;i<=n;++i)
		  xx[i]=xx[i-1]+x[i],yy[i]=yy[i-1]+y[i];
		while(q--)
		{
			LL qx=Read(),qy=Read();
			LL tx=qx-qy,ty=qx+qy;
			LL ans=0;
			LL len=upper_bound(x+1,x+n+1,tx)-x;
			ans+=(len-1)*tx-xx[len-1]+xx[n]-xx[len-1]-tx*(n-len+1);
			len=upper_bound(y+1,y+n+1,ty)-y;
			ans+=(len-1)*ty-yy[len-1]+yy[n]-yy[len-1]-ty*(n-len+1);
			cout<<ans/2<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}