数学好题，错题，例题 记录

题目一. 已知正整数 $a,b$，满足 $a+b=2$。则 $(3+\frac{2}{a})(8+\frac{2}{b})$

考虑 $a+b=2$ 将 $\frac{2}{a},\frac{2}{b}\to \frac{a+b}{a},\frac{a+b}{b}$

然后拆开即可。就变成了 $(4+\frac{b}{a})(9+\frac{a}{b})$

此类题目考虑换元。

题目二. 已知正整数 $a,b$ 满足 $a+2b=ab$

$1.$ 求 $a+b_{min}$

方法一:

注意到 $a+2b=ab\to \frac{1}{b}+\frac{2}{a}=1$

$a+b\to (a+b)(\frac{1}{b}+\frac{2}{a})$ 大小不变。

$\frac{2b}{a}+2+1+\frac{a}{b}$ 然后就是一道简单均值不等式的题目了 $3+2\sqrt{2}$

方法二：

此方法为通法。可在考场上没有办法时使用。

我们知道 $a+2b=ab\to a=ab-2b\to a=b(a-2)\to b=\frac{a}{a-2}$

$a+b$ 就转变为 $a+\frac{a}{a-2}$

一种复杂的方法是

$a+\frac{a}{a-2}\to \frac{a^2-a}{a-2}$ 令 $a-2$ 为 $t$ 。$a=t+2$ 变换为 $\frac{(t+2{)}^2-(t+2)}{t}$ 搞出来后变为简单均值不等式

换元法

第二种巧妙的方法是考虑借数

$(a-2)+\frac{(a-2)+2}{a-2}+2$ 然后就好做了 思路似乎是由于 $a$ 和分子 $a$ 相同下手的。反正我考试的时候想不到:(

$2.$ 求 $\frac{2a}{a-2}+{\frac{8b}{b-1}}_{min}$

答案书上的方法有点玄学。有 $a+2b=ab$，然后通过我们敏锐的观察可以发现有 $(a-2)(b-1)=2\to ab-a-2b=0$

不过显然大部分时候没有这样明显的数感。这时候就存在小技巧了。 $\frac{2a}{a-2}+\frac{8b}{b-1}\ge 2\sqrt{\frac{16ab}{(a-2)(b-1)}}$ 下面这个东西一定是个定值，不然没有最小值这个东西。然后往这个方向想即可。

题目三. $y=21-x-\frac{18}{2x+1}x>\frac{1}{4}$ 的最大值

万恶之源。考试的时候被干翻了。核心原理还是均值不等式，就是 $x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\times \frac{1}{x}}$ 变形来的。

考虑到 $\frac{18}{2x+1}\to \frac{9}{x+\frac{1}{2}}$ 就有了 $y=21-(x+\frac{1}{2}+\frac{9}{x+\frac{1}{2}})+\frac{1}{2}$

然后正常算即可。

老师还讲了一种方法，就是 $-(x+\frac{18}{2x+1})\to -(\frac{2x^2+x+18}{2x+1})$ 令 $2x+1$ 为 $t$

换元大法好啊，然后就是套路题目了。换元思想题目二写道了，就不写了，开学第一天，生物还没复习，作业不看书直接GG，靠。