拉格朗日插值法

拉格朗日插值法

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

插值法就是求出一个尽量符合函数图像的多项式。
众所周知，\(n+1\) 个点可以确定唯一的一个 \(n\) 次多项式，证明不会，现在有一个 \(n\) 次多项式，它有 \(n+1\) 个系数，如果知道这个多项式 \(n+1\) 个不同的取值情况形如 \((x_i,y_i)\)，那么可以使用待定系数法解方程得到这个多项式，使用高斯消元可以做到 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的时间复杂度。
考虑来构造一个解，对于每个 \(i\)，都存在一个函数 \(g_i(x_i)=y_i,g_i(x_j)=0[j\not=i]\)，为了普适性，直接使 \(g_i(x_i)=1\)，那么这个多项式就是 \(\sum_{i=1}^{n+1}y_ig_i\)，考虑如何来构造 \(g_i\)。

• 首先 \(g_i=\prod(x-x_j)\)，这样可以保证当 \(x=x_j\) 时，\(g_i(x)=0\)。
• 构造等于 \(1\) 可以直接考虑除以一个相同的数，\(g_i=\prod_{i\not=j}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)。

这样就构造出了这样一个函数，这个多项式就是

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n+1}y_i\prod_{i\not=j}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

对于任意的一个 \(x\)，可以以 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的时间计算出 \(f(x)\)，如果给出的点的横坐标是连续整数，可以预处理逆元和前后缀积做到线性计算 \(f(x)\)。

重心拉格朗日插值法

如果需要动态加入一个点，就会有多次重复的计算，考虑找到每个点的“特征”，这个特征毫无疑问是 \(y_i\prod_{i\not=j}\frac{1}{x_i-x_j}\)，直接处理下这个就能线性加入点了。