NOIP 模拟 15

A 选取字符串

考虑只有一个 \(p\) 的情况，肯定是统计每个的贡献，设 \(num_i\) 表示前缀长度为 \(i\) 时能匹配的串的数量，这个直接递推求就行了，然后再加上一个 \(q\)，那每次只统计新的前缀的贡献，设 \(f_i\) 表示长度为 \(i\) 的前缀中有多少个前缀也合法，计算就是 \((2f_i-1) {{num_i}\choose {k}}\)，减一是因为 \(p=i,q=i\) 算重了。

B 取石子

先考虑一堆石子，奇数时必胜，然后如果是偶数，如果除以 \(2\) 的商还是奇数，那就拿 \(2\)，以此类推，拿 \(4,8,16\)，直到除以这个 \(2^k\) 的商为奇数就先手必胜，所以每个数都可以转化成 \(\frac{x}{2^k}\) 的形式，所以当所有数的异或和为零或者 \(\text{lowbit}>k\) 时，先手必败。
然后考虑将后手置于必败情况，肯定先拿这个 lowbit，这样因为后手的限制一定不可能拿到新的 lowbit，所以先手就不断地拿 lowbit 就可以必胜。

C 均衡区间

单调栈处理出来控制区间后就是二维数点板子。

D 禁止套娃

首先二进制枚举外层，内层 DP 可以做到 \(\mathcal{O}(2^nn)\)，拿到 30pts。发现这是一个区分内外层的 DP，考虑使内层外层都能不重不漏地统计到所有本质不同子序列，只统计第一次出现的位置，需要满足一下限制，设内外层选取的相邻两个数为 \(x,y\)，则 \(x,y\) 直接没有等于 \(y\) 的数，设 \(g_{i,j}\) 表示在 \([i+1,j-1]\) 选取外层的方案数，\(f_i\) 表示内外层最后选的位置为 \(i\) 的方案数，转移形如 \(f_i=\sum_{j=0}^{i-1}g_{j,i}f_j\)，钦定 \(n+1\) 位置必选后，\(f_{n+1}\) 即为答案。
考虑对于 \(f_i\) 的转移需要满足的限制。

• 对于外层 \(g\)，还是相邻之间不能相同。
• 对于外层 \(g\) 选取的最后一个数，它与 \(i\) 之间没有等于 \(a_i\) 的数。
• 对于外层 \(g\) 选取的所有数中，不能有等于 \(a_i\) 的数。

发现对于第二条限制比较麻烦，所以只考虑处理满足两个限制的 \(g\)，转移时减去不合法的即可，就是 \(f_i=\sum_{j=0}^{i-1}(g_{j,i}-g_{j,pre_i})f_j\)。
现在来详细揭秘一下如何处理 \(g\)，结合代码比较好理解。

for(int i=1;i<=n+1;++i){
        int s=1;
        for(int j=i-1;~j;--j)
            g[i][j]=s,vis[j]=a[j]==a[i]?0:s,s=(1ll*s-vis[next[j]]+vis[j])%mod;
    }

这里的 \(g_{i,j}\) 中 \(i\) 是右端点，\(j\) 是左端点，只能这样向回递推来处理，确保了转移顺序是一个个推过去的，然后就是和 30pts 暴力的转移一样，需要使用前缀和优化，\(vis_j\) 表示 \([j,i]\) 这一段的方案数，当 \(a_i=a_j\) 时，不能从这一段转移，所以要赋 \(0\)，\(s\) 更新时当前位置回替代 next 位置，所以要减去。

总结

这场发挥算正常，酒店清醒的，然后 T1 暴力跳的 fail 太唐了，T2 想到跳 \(2\) 没往下推，就会暴力太菜了。