Hall 定理证明

这是一个很强大的定理。

Descripition

设一个二分图两部分点为 \((x,y)\)，\(x\le y\)，如果 \(x\) 的任意大小为 \(k\) 的子集连向 \(y\) 中的点集大小不小于 \(k\)，则存在完美匹配。

Proof

必要性：显然。
充分性：\(n=1\) 时显然成立，若 \(x<n\) 时都成立，那么一个子集 \(S\)（大小小于 \(n\)），它对应的点集为 \(N(S)\)，此时有两种情况：

• 如果存在 \(|S|=|N(S)|\)，此时可以直接删去 \(S\) 和 \(N(S)\)，如果剩下有一个集合 \(T\) 不再满足条件，那么 \(T\cup S\) 在初始时就不满足条件，与假设相悖，此时 \(\text{Hall}\) 定理成立。
• 如果所有子集都满足 \(|S|<|N(S)|\)，此时随便找到一个点 \(x\)，删去它和一个它的匹配点，因为只删去一个，所以剩下的所有子集满足 \(|S|\le |N(S)|\)，此时 \(\text{Hall}\) 定理成立。

综上所述，\(\text{Hall}\) 定理成立。

Expand

只能完美匹配不足以展现 \(\text{Hall}\) 定理的强大，实际上 \(\text{Hall}\) 定理适用于所有匹配情况。

• 推论：二分图的最大匹配数为 \(x\)，当且仅当选出任意 \(k\) 个左部点，他们连的点集为 \(|S|\)，总有 \(|S|\ge k-(n-x)\)。

必要性还是很显然，充分性跟 \(\text{Hall}\) 定理的证明一样，还是使用数学归纳法。
如果现在的 \(|S|>k-(n-x)\)，拿走一对匹配后剩下的还是满足条件。
如果现在的 \(|S|=k-(n-x)\)，那么根据假设，当前集合会有 \((n-x)\) 个匹配不上，删去左部点和 \(S\) 后，剩下的点一定满足原始 \(\text{Hall}\) 定理的条件，存在完美匹配，如果有不合法的，那么在一开始他与当前左部点的并就不满足条件，与假设相悖。
综上，推论成立。
现在 \(\text{Hall}\) 定理已经很强大了，它可以在某些情况下直接求解最大匹配数，不过还有一个推论。

• 推论：如果二分图一个左部点 \(i\) 要找 \(r(i)\) 个右部点来匹配，存在完美匹配当且仅当选出 \(k\) 个左部点，他们连的点集为 \(|S|\)，总有 \(|S|\ge \sum r(i)\)。

证明就是拆点。