P4159 [SCOI2009] 迷路 题解

P4159 [SCOI2009] 迷路

搬运工
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首先我们先考虑这道题的弱化版如何处理。假如所有的边权都是零和一。
这时他们的边权可以看做这两个点走一步到达之间的方案数。
而对于走 t 步，我们可以推出下列式子, $f_{i,j}$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 的方案数。

$$f_{i,j}=\sum f_{i,k}\cdot f_{k,j}$$

是不是很熟悉,我们发现它就是矩阵乘法的式子。
对于这个，这里有一道题P2233 [HNOI2002] 公交车路线,我们直接考虑矩阵加速，即可求出。
回到这道题
通过观察，我们发现他的每一个边权都很小，不会超过九（其实这就暗示了解法）
我们不妨考虑把每一个点拆成9个边权为1或0的点，可以这样想象（当然也有另外的拆法，大同小异）
我们可以将第一个点拆成 $1.0,1.1,1.2,1.3,\dots 1.8,1.8$
其中 $1.0$ 代表的就是这个点，我们可以叫他“真点”
而对于 $1.i$ 这样的点，它代表距离“真点” $1$ 距离为 $i$ 的点，我们叫它“假点”。
$2\le n\le 10$ ,所以我们可以拆成 $9n\cdot 9n$ 的矩阵。
在读入边权之前，我们需要将每个点的后八个假点每两个相邻的连接，边权为1 。
对于边权 $u,v,w$，我们将 $u$ 连到 $v.w$ 边权为1
这样就构造出了矩阵。然后直接跑矩阵快速幂就行。
对于求第 $t$ 步的方案数，时间复杂度为 $O((9n{)}^3\log t)$
代码如下

/*
 * @Author: Ishar-zdl 
 * @Date: 2023-10-14 15:03:04 
 * @Last Modified by: Ishar-zdl
 * @Last Modified time: 2023-10-15 07:51:30
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    return x*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
const int mod=2009,N=95;
struct mt{
    int n,t[N][N];
    inline mt(){memset(t,0,sizeof(t));}
    inline void clear(){
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(int i=1;i<=n;++i)t[i][i]=1;
    }
    inline mt operator*(const mt&b)const{
        mt res;int r;res.n=b.n;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j){
                for(int k=1;k<=n;++k)
                    res.t[i][j]+=t[i][k]*b.t[k][j];
                res.t[i][j]%=mod;
            }
        return res;
    }
    inline mt operator^(int p)const{
        mt res,x=*this;res.n=x.n;
        res.clear();
        for(;p;p>>=1,x=x*x)
            if(p&1)res=res*x;
        return res;
    }
}base;
int main(){
    // freopen("in.in","r",stdin);
    // freopen("out.out","w",stdout);
    int n=read(),q=read();base.n=9*n;
    int a;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int zc=i*9-7;zc<=i*9;zc++)
            base.t[zc][zc-1]=1;
        for(int j=1;j<=n;++j){
            scanf("%1d",&a);
            if(a)
            base.t[i*9-8][j*9-9+a]=1;
        }
    }
    base=base^q;
    write(base.t[1][n*9-8]);
    return 0;
}