Kruskal 重构树学习笔记
Kruskal 想必大家都不陌生，这是一种求最小生成树的算法。
关于 Kruskal 重构树，就是把一张图转化为一个堆。
具体来说，我们可以处理出来从 \(u\) 到 \(v\) 路径中的点权或边权的极值。
比如上面这张图（前为编号，[ ]内为点权），我们可以将它重构为小顶堆，如下
请注意，这棵树有着严格的方向，节点11为他的根节点。
那么如何去实现这个过程呢。
我们仍然是将边排序，然后扫描，用并查集判断是否合法，和正常的 \(Kruskal\) 最小生成树算法一样。
如果当前边 \((u,v)\) 合法，我们需要找到 \(u\) 的父亲 \(fu\) 和 \(v\) 的父亲 \(fv\)，然后新建一个节点 \(tot\) 点权为 \(w_tot=min(w_fu,w_fv)\)。新建两条边 \(tot\to fu\) 和 \(tot\to fv\)，当合法的边数达到 \(2\cdot n-2\) 条时，算法结束。
显然最后会构成一颗二叉树，且满足 \(w_i\le w_x(i\in siz_x)\)。这棵树的所有叶子结点都是真实点，且任意两点之间路径上的最小节点权值为这两个点的 \(lca\) 的权值。
那么 \(Kruskal\) 重构树能够解决什么样的问题呢？
P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输
这道题要求两点之间路线中边权的最小值最大，我们可以重构出一个小顶堆，然后查询 \(u\) 和 \(v\) 的 \(lca\) 的权值是否合法即可。
求 \(lca\) 直接倍增即可。
代码如下
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
return x*f;
}
const int N=1e5+10;
int n,m,q,fa[N],st[20][N],head[N],cnt,dfn_cnt,dfn[N],f[N],dep[N],w[N];
bool vis[N];
struct EDGE{int u,v,w;}ed[N];
struct edge{int v,nex;}e[N<<1];
inline void add(int u,int v){e[++cnt]={v,head[u]},head[u]=cnt;}
inline bool cmp(EDGE a,EDGE b){return a.w>b.w;}
inline int get(int x,int y){return dep[x]<dep[y]?x:y;}
inline void dfs(int x,int fa){
vis[x]=1;
st[0][dfn[x]=++dfn_cnt]=x;f[x]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)dfs(e[i].v,x);
}
inline int LCA(int u,int v){
if(u==v)return u;
if((u=dfn[u])>(v=dfn[v]))std::swap(u,v);
int d=std::__lg(v-u++);
return f[get(st[d][u],st[d][v-(1<<d)+1])];
}
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void Kruskal(){
for(int i=1;i<=2*n;++i)fa[i]=i;
std::stable_sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
int _new=n;
for(int i=1;i<=m&&cnt<=2*n-2;++i){
int u=find(ed[i].u),v=find(ed[i].v);
if(u==v)continue;
++_new;add(_new,u),add(_new,v);
fa[u]=fa[v]=_new;
w[_new]=ed[i].w;
}
for(int i=_new;i;--i)
if(!vis[i])dfs(i,0);
n*=2;
for(int i=1;i<=std::__lg(n);++i)
for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;++j)
st[i][j]=get(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<i-1)]);
}
inline void work(int u,int v){
if(find(u)!=find(v)){std::cout<<-1<<'\n';return;}
std::cout<<w[LCA(u,v)]<<'\n';
}
int main(){
// freopen("in.in","r",stdin),freopen("out.out","w",stdout);
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0),std::cout.tie(0);
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;++i)ed[i].u=read(),ed[i].v=read(),ed[i].w=read();
Kruskal();
q=read();
for(int i=1,u,v;i<=q;++i)u=read(),v=read(),work(u,v);
}
其中 Kruskal 重构树(板子)的部分是
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void Kruskal(){
for(int i=1;i<=2*n;++i)fa[i]=i;
std::stable_sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
int _new=n;
for(int i=1;i<=m&&cnt<=2*n-2;++i){
int u=find(ed[i].u),v=find(ed[i].v);
if(u==v)continue;
++_new;add(_new,u),add(_new,v);
fa[u]=fa[v]=_new;
w[_new]=ed[i].w;
}
for(int i=_new;i;--i)
if(!vis[i])dfs(i,0);
n*=2;
for(int i=1;i<=std::__lg(n);++i)
for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;++j)
st[i][j]=get(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<i-1)]);
}
这是另一道题 P4899 [IOI2018] werewolf 狼人
思路：从起点找到所有可以到达的点权大于等于 \(L\) 的节点，为集合 \(A\)，然后从终点找到所有可以到达的点权小于等于 \(R\) 的点，为集合 \(B\)。如果 \(A\bigcap B\ne \varnothing\)，则存在这样的路径，否则不存在。
考虑 kruskal 重构树，构建一个小顶堆（人走），然后从起点往上跳到最后一个权值大于等于 \(L\) 的节点，此时这个点的子树中就全是权值小于等于 \(L\) 的点。大顶堆（furry走）同理。
两个堆分别建一个 dfn 序列 \(a\) 和 \(b\)，此时就相当于询问序列 \(a\) 中 \(l_a\) 到 \(r_a\) 范围内的元素有没有在序列 \(b\) 中 \(l_b\) 到 \(r_b\) 的范围内出现。（二维数点），直接上离线树状数组或者主席树即可。
#include<bits/stdc++.h>
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
return x*f;
}
const int N=4e5+10;
int n,m,q;
struct Edge{int u,v,w;}ed[N];
inline bool cmp_per(Edge a,Edge b){return a.w>b.w;}
inline bool cmp_wolf(Edge a,Edge b){return a.w<b.w;}
struct Ktree{
int dfn[N],fa[N],st[25][N],head[N],val[N],dfn_cnt=0,e_cnt=0,lf[N],rf[N];
struct edge{int v,nex;}e[N];
inline void add(int u,int v){e[++e_cnt]={v,head[u]};head[u]=e_cnt;}
inline int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void dfs(int x){
lf[x]=++dfn_cnt;dfn[dfn_cnt]=x;
for(int i=1;i<=20;++i)st[i][x]=st[i-1][st[i-1][x]];
for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)dfs(e[i].v);
rf[x]=dfn_cnt;
}
inline void build(int type){
for(int i=1;i<=2*n-1;++i)fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;++i)ed[i].w=type?std::min(ed[i].u,ed[i].v):std::max(ed[i].u,ed[i].v);
if(type)std::stable_sort(ed+1,ed+m+1,cmp_per);else std::stable_sort(ed+1,ed+m+1,cmp_wolf);
int node_tot=n+1;
for(int i=1;i<=m&&node_tot<=2*n-1;++i){
int u=ed[i].u,v=ed[i].v,w=ed[i].w;
int fu=find(u),fv=find(v);
if(fu!=fv){
val[node_tot]=w;
add(node_tot,fu),add(node_tot,fv);
st[0][fu]=st[0][fv]=fa[fu]=fa[fv]=node_tot;
node_tot++;
}
}
dfs(node_tot-1);
}
inline int get(int x,int v,int type){
for(int i=20;i>=0;--i){
if(type&&st[i][x]&&val[st[i][x]]>=v)x=st[i][x];
if(!type&&st[i][x]&&val[st[i][x]]<=v)x=st[i][x];
}
return x;
}
}Per,Wolf;
int root[N],cnt;
struct Tree{int siz,ls,rs;}t[N<<5];
inline void update(int p){t[p].siz=t[t[p].ls].siz+t[t[p].rs].siz;}
inline void insert(int last,int p,int x,int l,int r){
if(l==r){t[p].siz=t[last].siz+1;return;}
int mid=(l+r)>>1;t[p]=t[last];
if(x<=mid)insert(t[last].ls,t[p].ls=++cnt,x,l,mid);
else insert(t[last].rs,t[p].rs=++cnt,x,mid+1,r);
update(p);
}
inline int query(int last,int p,int x,int y,int l,int r){
if(l>=x&&r<=y){return t[p].siz-t[last].siz;}
int mid=(l+r)>>1,ans=0;
if(x<=mid)ans+=query(t[last].ls,t[p].ls,x,y,l,mid);
if(y>mid)ans+=query(t[last].rs,t[p].rs,x,y,mid+1,r);
return ans;
}
int main(){
// freopen("in.in","r",stdin),freopen("out.out","w",stdout);
std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0),std::cout.tie(0);
n=read(),m=read(),q=read();
int len=2*n-1;
for(int i=1;i<=m;++i)
ed[i].u=read()+1,ed[i].v=read()+1;
Per.build(1),Wolf.build(0);
for(int i=1;i<=Wolf.dfn_cnt;++i){
root[i]=root[i-1];
int x=Wolf.dfn[i];
if(x<=n)insert(root[i-1],root[i]=++cnt,Per.lf[x],1,len);
}
for(int i=1;i<=q;++i){
int u=read(),v=read(),l=read(),r=read();
u++,v++,l++,r++;
int start=Per.get(u,l,1),end=Wolf.get(v,r,0);
if(query(root[Wolf.lf[end]-1],root[Wolf.rf[end]],Per.lf[start],Per.rf[start],1,len))
std::cout<<1<<'\n';
else std::cout<<0<<'\n';
}
}
