题解 P4515 【[COCI2009-2010#6] XOR】

令 \(g_i\) 为容斥系数。

使得 \(\sum_{i}^{t} \binom{t}{i} g_i = [2 \nmid t]\)。

令 \(f_t = [2\nmid t]\)。

二项式反演 \(f_t = \sum_{i}^{t} \binom{t}{i} g_i \iff g_t = \sum_{i}^{t} (-1)^{t-i} \binom{t}{i}f_i\)。

然后我们发现 \(f_i\) 在 \([2 \mid i]\) 的时候没有贡献。

\(g_t = (-1)^{t-1} \sum_{i}^{t}\binom{t}{i}f_i\)。

考虑后面半部分 \(\sum_{i}^{t} \binom{t}{i}1^{t-i}f_i\)。

二项式定理\((x+y)^n = \sum_{k}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\)。

考虑 \(f_i\) 是交替的 0/1。整体乘上 \(2\) 就可以认为 \(f'_i = 1\)。

\((1+1)^n = \sum_{k}^{n}\binom{n}{k} 1^{n-k}1^k\)。

那么 \(\sum_{k}^{n}\binom{n}{k} 1^{n-k}1^k = \sum_{i}^{t} \binom{t}{i}1^{t-i}f_i \times 2\)

所以 \(g_t = (-1)^{t-1} \times \frac{(1+1)^t}{2} = (-2)^{t-1}\)

然后暴力状压就做完了。