P3648 [APIO2014]序列分割

毒瘤题……少了一个判断检查了\(40min\)

看到题目 首先有个 \(O(n^2k)\) 的 DP 做法

就是

设 \(sum(x)\) = \(\sum_{i=1}^{x}a_i\)

\(f_{i,j}\)=\(max\){\(f_{i-1,k} + sum(k) * (sum(j) - sum(k))\)}

这样直接预处理出\(sum_x=\sum_{i=1}^{x}\) 即前缀和 然后 \(O(n^2k)\) 就可以做出来了

考虑斜率优化

假设 \(x\) 优于 \(y\)

那么

\(f_{i-1,x}+sum_x*(sum_j-sum_x) > f_{i-1.y}+sum_y*(sum_j-sum_y)\)

展开得到

\(f_{i-1,x}+sum_x*sum_j-sum_x^2 > f_{i-1,y} + sum_y*sum_j - sum_y^2\)

移项得到

\((sum_x-sum_y)*sum_j > f_{i-1,y}-sum_y^2-f_{i-1,x}+sum_x^2\)

化简得到

\(sum_j > \frac{f_{i-1,y}-sum_y^2-f_{i-1,x}+sum_x^2}{sum_x-sum_y}\)

设 \(S(x)=sum_x^2-f_{i-1,x}\)

\(sum_j>\frac{S(x)-S(y)}{sum_x-sum_y}\)

愉快的开始斜率优化…

但是需要特判\(sum_x==sum_y\)的情况

// Isaunoya
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define int long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
inline int read() {
  register int x = 0 , f = 1 ;
  register char c = getchar() ;
  for( ; ! isdigit(c) ; c = getchar()) if(c == '-') f = -1 ;
  for( ; isdigit(c) ; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15) ;
  return x * f ;
}
template < typename T > inline bool cmax(T & x , T y) {
	return x < y ? (x = y) , 1 : 0 ;
}
template < typename T > inline bool cmin(T & x , T y) {
	return x > y ? (x = y) , 1 : 0 ;
}
inline int QP(int x , int y , int Mod){ int ans = 1 ;
  for( ; y ; y >>= 1 , x = (x * x) % Mod)
    if(y & 1) ans = (ans * x) % Mod ;
  return ans ;
}

int n , k ;
const int N = 1e5 + 10 ;
const int M = 205 ;
int sum[N] , pre[M][N] ;
int q[N] ;
int f[N] , g[N] ;
inline int S(int x) {
  return (sum[x] * sum[x] - g[x]) ;
}
inline double slope(int x , int y) {
  if(sum[x] == sum[y]) return -1e18 ;
  return 1.0 * (S(x) - S(y)) / (sum[x] - sum[y]) ;
}
signed main() {
  n = read() ; k = read() ;
  for(register int i = 1 ; i <= n ; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + read() ;
  memset(f , 0 , sizeof(f)) ; memset(g , 0 , sizeof(g)) ;
  for(register int i = 1 ; i <= k ; i ++) {
    int h = 1 , t = 0 ;
    q[++ t] = 0 ;
    for(register int j = 1 ; j <= n ; j ++) {
      while(h < t && slope(q[h] , q[h + 1]) <= sum[j]) ++ h ;
      f[j] = g[q[h]] + sum[q[h]] * (sum[j] - sum[q[h]]) ;
      pre[i][j] = q[h] ;
      while(h < t && slope(q[t - 1] , q[t]) >= slope(q[t] , j)) -- t ;
      q[++ t] = j ;
    }
    memcpy(g , f , sizeof(f)) ;
  } printf("%lld\n" , f[n]) ;
  for(register int i = n ; k ; -- k)
    printf("%lld " , i = pre[k][i]) ;
	return 0 ;
}