命题逻辑那些事 | 3. 等价式&永真蕴含式 (主要是后者)

1|0一、等价式

啥是等价式？要我说带等价符号的就是等价式。

比如说

$$A\iff B$$

就是个等价式

硬要说的复杂一点，就是等价式两边可以互相推出，完全等价

比如我说

$$A\vee B\iff B\vee A$$

我们之前的那些演算、推导，都是建立在等价关系的基础上的，由于当时概念中太多的XX式，怕给你们弄乱，所以我们现在才引入这个概念，毕竟普通的数学运算大家都很熟悉，可以直接类比理解。

2|0二、永真蕴含式

那么有了等价式，和它并列的就是永真蕴含式了

首先我们知道，啥是蕴含式——

$$A\to B$$

那么永真蕴含式就是

$$A\Rightarrow B$$

解释一下就是

$$\mathrm{若}(A\to B)\iff 1,\mathrm{则}A\Rightarrow B$$

上面这个式子很重要，因为这是我们证明一个永真蕴含式的底层逻辑

个人建议：其实你也可以近似的理解为只要前件是真的，必然包含后件为真

3|0三、永真蕴含式的证明

3|1底层逻辑 暨 推理方法一

首先，等价式的证明是易懂的，和数学代数运算、等价代换差不多嘛。

证明蕴含式虽然没那么简单，但也还是很好理解的——

$$\mathrm{在}“\mathrm{若}(A\to B)\iff 1,\mathrm{则}A\Rightarrow B”\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{础}\mathrm{上}$$

我们可以得出

蕴含式只有在前1后0的情况下才能为假，否则都为真

因此我们为了证明一个蕴含式永远是真的，就要去证明它永远不是假的

于是就有了两种证明此式非假的方法：

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{假}\mathrm{设}\mathrm{前}1，\mathrm{证}\mathrm{后}\mathrm{必}1\\ \mathrm{假}\mathrm{设}\mathrm{后}0，\mathrm{证}\mathrm{前}\mathrm{必}0\end{array}$$

任何讲解都不如来一个例题有用，所以我们——

例：证明

$$P\wedge (P\to Q)\Rightarrow Q$$

方法1，假设前真

即

$$P\wedge (P\to Q)\iff 1$$

根据此式可推出

$$\{\begin{array}{l}P\iff 1\\ P\to Q\iff 1\end{array}$$

既然蕴含式P→Q为真，则要么前真后真，要么前假

而P为真，代表前真，所以得出Q也为真

满足了前为1，后必为1的条件，得证；

方法2，假设后假

即

$$Q\iff 0$$

这种方法对于这道题来说比较麻烦，不过还是演示一下

在Q为假时，P未知，那么就有了两种情况，我们可以用真值表来计算

P	P → Q	P ∧ ( P → Q )
1	0	0
0	1	0

因此当Q为假 (后假) 时，前必为假，得证。

看完这道例题，有的同学就懵了，说这道题的证明过程我看懂了，但这题和书上考的也不一样啊？我怎么没见过呢？

这里只是为了让你更清晰的明白证明过程的底层逻辑，真正做题时肯定不会这么这么简单，形式也会有所不同，至于具体的做题方法，后面会讲到。

当然，如果你足够聪明，就会发现上面这种证明方法，本质上依然是等值演算法，这对于一些复杂的证明必定是有些吃力的。

3|2推理方法二——构造证明法

1、推理理论

在底层逻辑的基础上，我们可以得出一些推理理论，甚至你自己也可以很容易的利用已有的知识推出它们

因此在构造证明法中，我们不用再去纠结底层逻辑中的那些东西，他们已然融会贯通进下面要讲到的推理理论中了

推理理论就像是等值演算中的那些重要等值式(详见第一章)一样，是拿来就用的公式，我们话不多说开始介绍

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{附}\mathrm{加}A\Rightarrow (A\vee B)\\ \mathrm{化}\mathrm{简}(A\wedge B)\Rightarrow A\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{假}\mathrm{言}\mathrm{推}\mathrm{理}((A\to B)\wedge A)\Rightarrow B\\ \mathrm{拒}\mathrm{取}\mathrm{式}((A\to B)\wedge \mathrm{\neg }B)\Rightarrow \mathrm{\neg }A\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{析}\mathrm{取}\mathrm{三}\mathrm{段}\mathrm{论}((A\vee B)\wedge \mathrm{\neg }A)\Rightarrow B\\ \mathrm{假}\mathrm{言}\mathrm{三}\mathrm{段}\mathrm{论}((A\to B)\wedge (B\to C))\Rightarrow (A\to C)\\ \mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{三}\mathrm{段}\mathrm{论}((A\leftrightarrow B)\wedge (B\leftrightarrow C))\Rightarrow (A\leftrightarrow C)\end{array}$$

析取三段论——排除法

假言三段论、等价三段论——传递

$$\mathrm{构}\mathrm{造}\mathrm{性}\mathrm{二}\mathrm{难}(A\to B)\wedge (C\to D)\wedge (A\vee C)\Rightarrow (B\vee D)$$

2、证明规则

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本文作者：IronRoc
本文链接：https://www.cnblogs.com/IronRocGIS/p/17504372.html
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