P1650 田忌赛马

P1650 田忌赛马

题目

我国历史上有个著名的故事： 那是在 $2300$ 年以前。齐国的大将军田忌喜欢赛马。他经常和齐王赛马。他和齐王都有三匹马：常规马，上级马，超级马。一共赛三局，每局的胜者可以从负者这里取得 $200$ 银币。每匹马只能用一次。齐王的马好，同等级的马，齐王的总是比田忌的要好一点。于是每次和齐王赛马，田忌总会输 $600$ 银币。

田忌很沮丧，直到他遇到了著名的军师――孙膑。田忌采用了孙膑的计策之后，三场比赛下来，轻松而优雅地赢了齐王 $200$ 银币。这实在是个很简单的计策。由于齐王总是先出最好的马，再出次好的，所以田忌用常规马对齐王的超级马，用自己的超级马对齐王的上级马，用自己的上级马对齐王的常规马，以两胜一负的战绩赢得 $200$ 银币。实在很简单。

如果不止三匹马怎么办？这个问题很显然可以转化成一个二分图最佳匹配的问题。把田忌的马放左边，把齐王的马放右边。田忌的马 A 和齐王的 B 之间，如果田忌的马胜，则连一条权为 $200$ 的边；如果平局，则连一条权为 $0$ 的边；如果输，则连一条权为 $-200$ 的边……如果你不会求最佳匹配，用最小费用最大流也可以啊。 然而，赛马问题是一种特殊的二分图最佳匹配的问题，上面的算法过于先进了，简直是杀鸡用牛刀。现在，就请你设计一个简单的算法解决这个问题。

输入

第一行一个整数 $n$ ，表示他们各有几匹马（两人拥有的马的数目相同）。第二行 $n$ 个整数，每个整数都代表田忌的某匹马的速度值（$0\le$ 速度值 $\le 100$）。第三行 $n$ 个整数，描述齐王的马的速度值。两马相遇，根据速度值的大小就可以知道哪匹马会胜出。如果速度值相同，则和局，谁也不拿钱。

输出

仅一行，一个整数，表示田忌最大能得到多少银币。

样例

输入

3
92 83 71
95 87 74

输出

200

提示

数据规模与约定

• 对于 $20\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le N\le 65$；
• 对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le N\le 250$；
• 对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le N\le 2000$。

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思路

不妨用贪心思想来分析一下。因为田忌掌握有比赛的“主动权”，他总是根据齐王所出的马来分配自己的马，所以这里不妨认为齐王的出马顺序是按马的速度从高到低出的。由这样的假设，归纳如下贪心策略。

1. 如果田忌目前的最快马快于齐王目前的最快马，则两者比。如果田忌的最快马慢于齐王的最快马，则用田忌的最慢马与齐王的最快马比（减少损失）。以此类推。

2. 如果田忌的最快马和齐王的最快马相等，分为以下两种情况：（1）若田忌的最慢马快于齐王的最慢马，则两者比（贪心思想：能赢就赢）。（2）若田忌的最慢马慢于齐王的最慢马或者相等，用田忌的最慢马与齐王的最快马比（贪心思想：贡献最大）。

这里比较难理解的“田忌的最快马和齐王的最快马相等，两队中最慢马也相等”的情况，运用反证法思想去理解，假设“用田忌的最慢马与齐王的最快马比”是错误的，则如果齐王马的速度分别是 $1,2,3$，田忌的速度也是 $1,2,3$，每次选择打平的话，田忌一分钱也得不到。如果田忌的最慢马和齐王的次快马比赛，最好的情况也是打平。而如果选择田忌的最慢马和齐王的最快马比赛，最好的情况可以赢得 $200$ 银币。可以发现用田忌的最慢马和齐王的非最快马比并没有比选择齐王的最快马比获得的金币数多。因此“田忌的最快马和齐王的最快马相等，两队中最慢马也相等”的情况用“田忌的最慢马与齐王的最快马比较”更好。

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代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[2010], b[2010], ans, n, la = 1, lb = 1, ra, rb;

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		scanf("%d", &b[i]);
	sort(a + 1, a + n + 1);
	sort(b + 1, b + n + 1);
	ra = rb = n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		if (a[ra] > b[rb])
		{
			ans += 200;
			ra --;
			rb --;
		}
		else if (a[ra] < b[rb])
		{
			ans -= 200;
			la ++;
			rb --;
		}
		else if (a[la] > b[lb]) // 两队最快的相等
		{
			ans += 200;
			la ++;
			lb ++;
		}
		else // 用田忌的最慢马与齐王的最快马比
		{
			if (a[la] < b[rb])
				ans -= 200;
			la ++;
			rb --;
		}
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}