P1157 组合的输出

P1157 组合的输出

题目

排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从 $n$ 个元素中抽出 $r$ 个元素（不分顺序且 $r\le n$），我们可以简单地将 $n$ 个元素理解为自然数 $1,2,\dots ,n$，从中任取 $r$ 个数。

现要求你输出所有组合。

例如 $n=5,r=3$，所有组合为：

$123,124,125,134,135,145,234,235,245,345$。

输入

一行两个自然数 $n,r(1<n<21,0\le r\le n)$。

输出

所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。

注意哦！输出时，每个数字需要 $3$ 个场宽。以 C++ 为例，你可以使用下列代码：

cout << setw(3) << x;

输出占 $3$ 个场宽的数 $x$。注意你需要头文件 iomanip。

样例

输入

5 3

输出

  1  2  3
  1  2  4
  1  2  5
  1  3  4
  1  3  5
  1  4  5
  2  3  4
  2  3  5
  2  4  5
  3  4  5

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思路一

我们构造一个 $n$ 位的二进制数，二进制数的第 $i$ 位代表第 $i$ 个元素的选取状态。枚举全集 $[0,2^n-1]$ 共 $2^n$ 种状态，代码为

for (int S = 0; S <= (1 << n) - 1; S ++ )

其中 1 << n 表示二进制数 $1$ 向左移 $n$ 位，即十进制数 $2^n$，(1 << n) - 1 是由 $n$ 个 $1$ 构成的二进制数。二进制数从右向左依次为第 $0$ 位，第 $1$ 位，$\cdots$，第 $n-1$ 位，分别表示每个位置对应的元素的选取状态，如果该位置为 $1$，表示对应位置的元素被选取，如果为 $0$，表示没有被选取。若某个状态 $S(S$ 有 $n$ 位 $)$ 的二进制数含有 $r$ 个 $1$，那么它二进制为 $1$ 的位对应的元素就是我们要选取的。

如何判断 $S$ 中某一位是否为 $1$ 呢？可以借助 $1$ 左移 $i$ 位得到的二进制数与 $S$ 进行“$\mathrm{\&}$”运算，如果结果为正数，则第 $i$ 位为 $1$。例如：“$S=10000100,S\mathrm{\&}(1<<2)=00000100$”，则说明 $S$ 中第 $2$ 位为 $1$，表示题意中第 $n-i$ 个元素要被选取。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[30], n, r, cnt;

int main()
{
	cin >> n >> r;
	for (int S = (1 << n) - 1; S >= 0; S -- )
	{
		cnt = 0;
		for (int i = 0; i < n; i ++ )
		{
			if (S & (1 << i))
				a[cnt ++] = i;
		}
		if (cnt == r)
		{
			for (int i = r - 1; i >= 0; i -- )
				printf("%3d", n - a[i]);
			cout << '\n';
		}
	}
	return 0;
}

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思路二

题目从 $n$ 个数中选 $r$ 个数字的组合，且 $n$ 小于 $21$，我们构造一个 $n$ 位的二进制数，二进制数的第 $i$ 位代表第 $i$ 个元素的选取状态，与前面的方法相同。如果 __builtin_popcount(x) 函数等于 $r$，则说明二进制数 $x$ 含有 $r$ 个 $1$，是题目需要的状态。可以对 $x$ 进行数位分离，将数字为 $1$ 的位置用数组储存下来，分离结束后按要求输出 $x$ 中每个 $1$ 的位置。

这道题需要注意的是输出格式，要求按照字典序输出。因此不能从小到大枚举二进制数，例如“$01101$”这个二进制数表示第 $1,3,4$ 个数字被选择。“$10011$”这个二进制数表示第 $1,2,5$ 个数字被选择。而二进制数“$01101$”$<$“$10011$”，因此“$1,3,4$”这种状态会先被枚举到，但“$1,2,5$”的字典序小于“$1,3,4$”。因此为了让“$1$”尽可能靠前出现以满足字典序要求，我们可以将状态从大到小枚举。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, r, cnt, a[50], S, x, p;

int main()
{
	cin >> n >> r;
	S = (1 << n) - 1;
	for (int i = S; i >= 0; i -- )
	{
		cnt = 0;
		if (__builtin_popcount(i) == r)
		{
			x = i;
			p = 1;
			while (x)
			{
				if (x & 1)
					a[++ cnt] = n - p + 1;
				x >>= 1;
				p ++;
			}
			for (int j = cnt; j >= 1; j -- )
				printf("%3d", a[j]);
			cout << '\n';
		}
	}
	return 0;
}