P1149 [NOIP2008 提高组] 火柴棒等式

P1149 [NOIP2008 提高组] 火柴棒等式

题目

给你 $n$ 根火柴棍，你可以拼出多少个形如 $A+B=C$ 的等式？等式中的 $A$、$B$、$C$ 是用火柴棍拼出的整数（若该数非零，则最高位不能是 $0$）。用火柴棍拼数字 $0\sim 9$ 的拼法如图所示：

注意：

1. 加号与等号各自需要两根火柴棍；
2. 如果 $A\ne B$，则 $A+B=C$ 与 $B+A=C$ 视为不同的等式（$A,B,C\ge 0$）；
3. $n$ 根火柴棍必须全部用上。

输入

一个整数 $n(1\le n\le 24)$。

输出

一个整数，能拼成的不同等式的数目。

样例 1

输入

14

输出

2

样例 2

输入

18

输出

9

提示

【输入输出样例 1 解释】

$2$ 个等式为 $0+1=1$ 和 $1+0=1$。

【输入输出样例 2 解释】

$9$ 个等式为

$0+4=4$、$0+11=11$、$1+10=11$、$2+2=4$、$2+7=9$、$4+0=4$、$7+2=9$、$10+1=11$、$11+0=11$。

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思路一

首先，根据题意可知，火柴棒的个数最多为 $24$ 根，除去“+”和“=”占用的 $4$ 根火柴棍，那么剩下 $20$ 根火柴棍。在 $0$ 到 $9$ 这 $10$ 个数字中，可以看到数字 $1$ 需要用到的火柴棍最少，只需要 $2$ 根火柴棍。所以 $20$ 根火柴棍最多能组成 $10$ 个 $1$。在 $4$ 位数里 $1111$ 用的火柴棍最少也要 $8$ 个，所以构造的形如 $a+b=c$ 的火柴棍等式就转换为“$1111+x=(1111+x)$”，在这个等式中 $a,b,c$ 的任意一个数都不能超过 $1111$，这里设 $n=1111$。假设已知等式的加数，该加数的范围是 $0$ 到 $n$，接下来分别枚举 $a,b$ 的值。$c$ 可以通过 $a+b$ 算出来，无须枚举。约束条件是：$a$ 所使用的火柴棍的根数加上 $b$ 所使用的火柴棍的根数，再加上 $c$ 所使用的火柴棍的根数，如果恰好等于 $m-4$，则成功地找出了一组等式。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a, b, c, m, sum;

int f(int x) // 用来计算一个数需要用火柴棍的总数
{
	int s = 0, f[10] = {6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6};
	while (x / 10 != 0)
	{
		s += f[x % 10];
		x /= 10;
	}
	s += f[x]; // 加上最后的数字对应的根数
	return s; // 返回火柴棍的总跟数
}

int main()
{
	cin >> m;
	for (a = 0; a <= 1111; a ++ )
	{
		for (b = 0; b <= 1111; b ++ )
		{
			c = a + b;
			if (f(a) + f(b) + f(c) == m - 4)
				sum ++;
		}
	}
	cout << sum << '\n';
	return 0;
}

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思路二

上述算法的时间复杂度位 $O(n^2\times$数字分离的次数$)$，由于数字最大是 $1111$，每个数字分离的次数最大是 $4$，完整算法 $1s$ 之内可以输出答案。但是由于每个数字都要分离计算数字需要的所有火柴棍数目，这样导致很多数字重复计算，加大了时间复杂度。思考之后可以将 $0$ 到 $2222$ 的所有整数需要的火柴棒数目预处理保存在数组中。那么难点是如何更快速地预处理出 $0$ 到 $2222$ 中所有数字的火柴棒数目，可以使用递推算法。设 $s[i]$ 数组表示数字 $i$ 需要的火柴棒数目，那么 $s[i]=s[i/10]+s[i\mathrm{\%}10]$，时间复杂度是 $O(n)$。整个算法总时间是 $O(n^2)+O(n)$，更为优秀。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f[2500] = {6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6}, a, b, c, m, sum;

int main()
{
	cin >> m;
	for (int i = 10; i <= 2222; i ++ )
		f[i] = f[i / 10] + f[i % 10];
	for (a = 0; a <= 1111; a ++ ) // 枚举 a 和 b
	{
		for (b = 0; b <= 1111; b ++ )
		{
			c = a + b;
			if (f[a] + f[b] + f[c] == m - 4)
				sum ++;
		}
	}
	cout << sum << '\n';
	return 0;
}