P2241 统计方形（数据加强版）

P2241 统计方形（数据加强版）

题目

有一个 $n\times m$ 方格的棋盘，求其方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

输入

一行，两个正整数 $n,m$（$n\le 5000,m\le 5000$）。

输出

一行，两个正整数，分别表示方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

样例

输入

2 3

输出

8 10

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思路

根据题意得到如下棋盘，假设长为 $X$，宽为 $Y$。

尝试直译枚举对象，即枚举矩形的左下角和右上角坐标，统计数量，时间复杂度是枚举矩形左下角横坐标、左下角纵坐标、右上角横坐标、右上角纵坐标之积，为 $O(n^2{m}^2)$，显然超时。

进一步思考如何减少枚举数量，如果只枚举矩形的一个顶点坐标，同时枚举边长，因统计正方形和长方形的数量，依然要枚举四个变量，枚举顶点坐标的方式可行性不佳。

换一种思路，枚举边长。矩形对边平行且相等，求棋盘包含长为 $x$，宽为 $y$（$x,y$ 假设已知）的小矩形数量。在棋盘内最多可以画长度为 $x$ 的长边 $X-x+1$ 条，例如 $X=3,x=2$，小矩形的长边最多可以画 $2$ 条。同理在棋盘内最多可以画长度为 $y$ 的短边 $Y-y+1$ 条。长为 $x$ 和宽为 $y$ 可组成 $(X-x+1)\times (Y-y+1)$ 个小矩形。因此可枚举小矩形的长和宽，枚举范围从 $0$ 到棋盘长/宽。其中包含正方形和长方形。如果 $x$ 与 $y$ 相等，则为正方形，如果不等则为长方形，满足条件的统计即可。

由于数据范围中 $n,m\le 5000$，枚举矩形长、宽相乘以后可能超过 $\mathrm{int}$ 范围，因此代码中统计变量使用 $\mathrm{long}\mathrm{long}$ 类型。

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代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int X, Y;
long long a, b;

int main()
{
	cin >> X >> Y;
	for (int x = 1; x <= X; x ++ )
	{
		for (int y = 1; y <= Y; y ++ )
		{
			if (x == y)
				a += (X - x + 1) * (Y - y + 1);
			else
				b += (X - x + 1) * (Y - y + 1);
		}
	}
	cout << a << ' ' << b << '\n';
	return 0;
}