《信息安全数学基础》第四章：环

环与子环

环的定义

设 R 是一非空集合，在 R 上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为“+”和“·”，如果 R 具有如下性质：

  1. R 对于加法是一个交换群
  2. R 对于乘法封闭
  3. 乘法满足结合律，即 ∀a,b,c∈R,a·(b·c)=(a·b)·c
  4. 左右分配律成立，即 ∀a,b,c∈R,a·(b+c)=a·b+a·c，(b+c)·a=b·a+c·a

由于环中乘法对于加法的左分配律成立不一定保证右分配律成立（乘法不一定满足交换律），所以需要左右分配律成立

则称 (R,+,·) 为一个环，省略运算符简称 R 是一个环。

交换环

如果环 R 关于乘法满足交换律，则称 R 是一个交换环。

例：全体有理数 Q 、全体实数 R 、全体复数 C 和全体整数集合 Z 对于普通的加法和乘法构成交换环，其中 Z 构成的环比较重要，称为整数环。

模 m 剩余类环

定义模 m 的剩余类集合 {0―,1―,...,m−1―} 上的乘法如下：

{i―j―=ij―(mod m)}

则剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个交换环，称为模 m 剩余类环。

扩环与子环

  • 如果一个环 R 的子集 S 对于 R 中的运算也构成环，则称 S 是 R 的子环， R 是 S 的扩环。

  • 一个环 R 是自身的子环。仅含零元的集合 {0} 也构成 R 的子环。对任意一个环 R 至少有两个子环，即 R 自身和只包含单位元的子集 {0} ，他们称为 R 的平凡子环。

一个环 R 的一个子集 S 构成一个子环的条件

∀a,b∈S ，有 a−b∈S,ab∈S

第一条类比子群条件中的 ab−1∈S ，第二条得到乘法封闭性。又因为环中乘法结合律和分配律成立，因此上述两个条件能保证 S 构成子环

  • 例：整数环 Z 中所有整数的倍数

    nZ={rn|r∈Z}

    是 Z 的子环。

概念

  • 零元：加法群的单位元
  • 负元：元素的加法逆元

环不一定存在单位元和逆元，如果存在则唯一。

  • 零因子：

    定义：如果在一个环 R 里 a≠0,b≠0 ，但 ab=0 则称 a 是这个环里的一个左零因子， b 是这个环里的一个右零因子。

    交换环中每个左零因子同时也是右零因子，即零因子。非交换环中也可能有零因子。如果一个环 R 中没有零因子，则称 R 为无零因子环。

    • 例：模12剩余类环中的零因子： 2―,3―,4―,6―,8―,9―,10― （即与12不互素的剩余类）。
    • 例：整数环 Z ，有理数环 Q ，全体实数环 R ，全体复数环 C 就是无零因子环。

    判断环内是否有零因子？

    定理：在没有任何零因子的环里消去律成立，即如果

    a≠0,s.t.ab=ac⇒b=cba=ca⇒b=c

    反之，如果上面的任意一个消去律成立，则环里没有零因子。

环的计算规则

  1. 0+a=a+0=a
  2. a+(−b)=a−b
  3. −a+a=a−a=0
  4. −(−a)=a
  5. a+b=c⇒b=c−a
  6. −(a+b)=−a−b;−(a−b)=−a+b
  7. ∀n∈N∗,na=a+a+...+a(−n)a=−na0a=0
  8. ∀n.m∈Z ，有 :(n+m)a=na+man(ma)=(nma)n(a+b)=na+nb

1-8由加法交换群得到

  1. ∀n.m∈N∗ 有 :an=aa...aanam=an+m(an)m=anm

9由乘法结合律得到

  1. (a−b)c=ac−bc;c(a−b)=ca−cb
  2. 0a=a0=0 （此处的0即环 R 的零元）
  3. (−a)b=a(−b)=−ab;(−a)(−b)=ab
  4. a(b1+...bn)=ab1+...+abn(b1+...bn)a=b1a+...bna(∑i=1mai)(∑j=1nbi)=∑i=1m∑j=1naibi
  5. ∀n∈Z,(na)b=a(nb)=n(ab)

10-14由分配律得到

整环，除环与域

整环

定义：如果一个环 R 满足下列条件：

  1. R 是交换环；
  2. 存在单位元，且 1≠0 ；
  3. 没有零因子。

则 R 称为整环。

条件2中 1≠0 意味着环中不止一个元素，或存在非零元。

  • 整数环 Z ，全体有理数环 Q ，全体实数环 R ，全体复数环 C 都是整环

除环

定义：如果一个环 R 存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法群，则 R 称为除环。

  • 可以认为除环是一个加法群和一个乘法群的集成，而分配律是这两个群之间 的联系纽带。
  • 除环里无零因子。因为非零元乘法构成群意味着消去律成立。
  • “除环”这个名词是由于每个非零元都有逆元，可以做“除法”
  • 全体有理数环 Q ，全体实数环 R ，全体复数环 C 都是除环；整数环 Z 不是除环。

域

定义（从交换环出发）：一个交换环被称为一个域。

定义（从环出发）：如果一个环 F 存在非零元，且全体非零元构成一个乘法交换群，则 F 称为一个域。

定义（从群出发）：一个集合 F 是一个域应该满足 以下三个条件：

  1. 构成加法交换群；
  2. 非零元构成乘法交换群；
  3. 满足分配律。

定理：

  • 域一定是除环。

  • 全体有理数环 Q ，全体实数环 R ，全体复数环 C 都是域；整数环 Z 不是域。

*有限域

元素有限的除环称为有限除环，元素有限的域称为有限域。

当 p 是素数时，模 p 剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个域，记为 GF(p) 。

  • 对任意素数 p ， GF(p) 是有限域。

子除环与子域

一个除环 D 的一个子集 S 构成一个子除环 D 的条件是：

  1. S 包含非零元；
  2. ∀a,b∈S,a−b∈S
  3. ∀a,b∈S,b≠0,ab−1∈S

环的同态与理想

环的同态与同构

定义： (R,+,⋅) 和 (R′,⊕,⊙) 是两个环，如果存在 R 到 R′ 的一个映射 f 加法和乘法都在 f 下得到保持，即：∀a,b∈R:

(1)f(ab)=f(a)f(b)(2)f(a+b)=f(a)+f(b)

则称 f 是 R 到 R′ 的同态映射，简称同态。如果 f 是单射，则称 f 是是单同态；如果 f 是满射，则称 f 是满同态。如果 f 是一一映射，则称 f 是同构，此时称 (R,+,⋅) 和 (R′,⊕,⊙) 同构，表示为 R≅R′ 。

零同态

设 R ， S 是两个环， R 到 S 的映射 f ：∀r∈R,f(r)=0 （这里的 0 是 S 的零元）

同态性质

f 是环 R 到 R′ 的同态，则有：

  1. f(0)=0′ （ 0′ 是 R′ 的零元）
  2. ∀a∈R,f(−a)=−f(a)
  3. 如果 R 有单位元（ R 不一定有单位元），则 R′ 也有单位元，且 f(1)=1′ （ 1′ 是 R′ 的单位元）
  4. 如果 R 有单位元，且 a∈R 可逆（ a 不一定有逆元），则 f(a) 在 R′ 中可逆，且 f(a)−1=f(a−1)
  5. 如果 R 是交换环，则 R′ 也是交换环。

注意：没有零因子的性质在同态下不一定保持（在同构下保持）

同构性质

假设两个环 R≅R′ ，则：

  1. 如果 R 是整环，则 R′ 也是整环；
  2. 如果 R 是除环，则 R′ 也是除环；
  3. 如果 R 是域，则 R′ 也是域；

环同态的核

核：单位元的完全反像

定义

f 是环 R 到 R′ 的同态，设 0′ 是 R′ 的零元，则 f 的核为：

ker(f)={a∈R∣f(a)=0′}

在单同态和同构下， ker(f)={0} 。

性质

f 是环 R 到 R′ 的同态，则有：

  1. ker(f) 是环 R 的一个子环。
  2. f 是单同态当且仅当 ker(f)={0} 。
  3. ∀r∈R,a∈ker(f),s.t.f(ra)=f(r)f(a)=0′f(ar)=f(a)f(r)=0′

环同态的核是特殊的子环——理想

理想

定义

设 I 是环 R 的加法子群。

  • 如果对于 ∀r∈R,a∈I ，都有 ra∈I ，则称 I 是 R 的一个左理想。

  • 如果对于 ∀r∈R,a∈I ，都有 ar∈I ，则称 I 是 R 的一个右理想。

  • 当 I 同时是左理想和右理想时，称为理想。

环同态的核是理想；

对于交换环，任意左右理想都是理想；

左右理想都是子环；

理想在环论中的地位相当于正规子群在群论中的地位。

  • {0} 是环 R 的理想，称为零理想； R 也是 R 的理想，称为单位理想。零理想和单位理想统称为平凡理想。除了平凡理想的其他理想称为真理想。
  • 除环仅有平凡理想，因此理想对除环和域没有太大意义。

X 生成的理想

设集合 X 是环 R 的非空子集， {I1,I2...} 是包含 X 的所有理想，则称它们的交是由 X 生成的理想，记为 (X) 。 X 中的元素称为 (X) 的生成元素。当 X 是有限集时，称 X 是有限生成的理想 。由一个元素生成的理想 (a) 称为主理想。

(X) 是包含 X 的最小理想， (a) 是包含元素 a 的最小理想。

*(a) 包含的元素（推导过程见书）

  • R 是普通的环：

    (a)={∑xiayi+xa+ay+na}

  • R 是交换环：

    (a)={xa+na},(x∈R,n∈Z)

  • R 有单位元：

    (a)={∑xiayi}

  • R 是交换环且有单位元：

    (a)={xa},(x∈R)

定理

  • 环 R 的非空子集是左理想的充分必要条件： ∀a,b∈I,r∈R,s.t.a−b∈I,ra∈I

    （右理想和理想同理）

  • 两个左理想的交是左理想，两个右理想的交是右理想，两个理想的交是理想。

  • 如果一个整环上的理想都是主理想，则称为主理想整环。

    • 整数环 Z 是主理想整环

*商环、素理想与最大理想（自学内容，考纲外）

略

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