《信息安全数学基础》第四章：环
环与子环
环的定义
设 \(R\) 是一非空集合，在 \(R\) 上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为“+”和“·”，如果 \(R\) 具有如下性质：
- \(R\) 对于加法是一个交换群
- \(R\) 对于乘法封闭
- 乘法满足结合律，即 \(\forall a,b,c\in R,a·(b·c)=(a·b)·c\)
- 左右分配律成立，即 \(\forall a,b,c\in R,a·(b+c)=a·b+a·c，(b+c)·a=b·a+c·a\)
由于环中乘法对于加法的左分配律成立不一定保证右分配律成立（乘法不一定满足交换律），所以需要左右分配律成立
则称 \((R,+,·)\) 为一个环，省略运算符简称 \(R\) 是一个环。
交换环
如果环 \(R\) 关于乘法满足交换律，则称 \(R\) 是一个交换环。
例：全体有理数 \(Q\) 、全体实数 \(R\) 、全体复数 \(C\) 和全体整数集合 \(Z\) 对于普通的加法和乘法构成交换环，其中 \(Z\) 构成的环比较重要，称为整数环。
模 \(m\) 剩余类环
定义模 \(m\) 的剩余类集合 \(\{\overline{0},\overline{1},...,\overline{m-1}\}\) 上的乘法如下：
则剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个交换环，称为模 \(m\) 剩余类环。
扩环与子环
-
如果一个环 \(R\) 的子集 \(S\) 对于 \(R\) 中的运算也构成环，则称 \(S\) 是 \(R\) 的子环， \(R\) 是 \(S\) 的扩环。
-
一个环 \(R\) 是自身的子环。仅含零元的集合 \(\{0\}\) 也构成 \(R\) 的子环。对任意一个环 \(R\) 至少有两个子环，即 \(R\) 自身和只包含单位元的子集 \(\{0\}\) ，他们称为 \(R\) 的平凡子环。
一个环 \(R\) 的一个子集 \(S\) 构成一个子环的条件
\(\forall a,b\in S\) ，有 \(a-b\in S,ab\in S\)
第一条类比子群条件中的 \(ab^{-1}\in S\) ，第二条得到乘法封闭性。又因为环中乘法结合律和分配律成立，因此上述两个条件能保证 \(S\) 构成子环
- 例：整数环 \(Z\) 中所有整数的倍数\[nZ=\{rn|r\in Z\} \]是 \(Z\) 的子环。
概念
- 零元：加法群的单位元
- 负元：元素的加法逆元
环不一定存在单位元和逆元，如果存在则唯一。
-
零因子：
定义：如果在一个环 \(R\) 里 \(a\ne 0,b\ne 0\) ，但 \(ab=0\) 则称 \(a\) 是这个环里的一个左零因子， \(b\) 是这个环里的一个右零因子。
交换环中每个左零因子同时也是右零因子，即零因子。非交换环中也可能有零因子。如果一个环 \(R\) 中没有零因子，则称 \(R\) 为无零因子环。
- 例：模12剩余类环中的零因子： \(\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{6},\overline{8},\overline{9},\overline{10}\) （即与12不互素的剩余类）。
- 例：整数环 \(Z\) ，有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 就是无零因子环。
判断环内是否有零因子？
定理：在没有任何零因子的环里消去律成立，即如果
\(a\ne 0,s.t.\\ab=ac\Rightarrow b=c\\ba=ca\Rightarrow b=c\)
反之，如果上面的任意一个消去律成立，则环里没有零因子。
环的计算规则
- \(0+a=a+0=a\)
- \(a+(-b)=a-b\)
- \(-a+a=a-a=0\)
- \(-(-a)=a\)
- \(a+b=c\Rightarrow b=c-a\)
- \(-(a+b)=-a-b;-(a-b)=-a+b\)
- \(\forall n\in N^{*},na=a+a+...+a\\(-n)a=-na\\0a=0\)
- \(\forall n.m\in Z\) ，有 \(: \\(n+m)a=na+ma\\n(ma)=(nma)\\n(a+b)=na+nb\)
1-8由加法交换群得到
- \(\forall n.m\in N^{*}\) 有 \(: \\a^{n}=aa...a\\a^{n}a^{m}=a^{n+m}\\(a^{n})^{m}=a^{nm}\)
9由乘法结合律得到
- \((a-b)c=ac-bc;c(a-b)=ca-cb\)
- \(0a=a0=0\) （此处的0即环 \(R\) 的零元）
- \((-a)b=a(-b)=-ab;(-a)(-b)=ab\)
- \(a(b_{1}+...b_{n})=ab_{1}+...+ab_{n}\\(b_{1}+...b_{n})a=b_{1}a+...b_{n}a\\(\sum^{m}_{i=1}a_{i})(\sum^{n}_{j=1}b_{i})=\sum^{m}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}a_{i}b_{i}\)
- \(\forall n\in Z,(na)b=a(nb)=n(ab)\)
10-14由分配律得到
整环，除环与域
整环
定义：如果一个环 \(R\) 满足下列条件：
- \(R\) 是交换环；
- 存在单位元，且 \(1\ne 0\) ；
- 没有零因子。
则 \(R\) 称为整环。
条件2中 \(1\ne 0\) 意味着环中不止一个元素，或存在非零元。
- 整数环 \(Z\) ，全体有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 都是整环
除环
定义：如果一个环 \(R\) 存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法群，则 \(R\) 称为除环。
- 可以认为除环是一个加法群和一个乘法群的集成，而分配律是这两个群之间 的联系纽带。
- 除环里无零因子。因为非零元乘法构成群意味着消去律成立。
- “除环”这个名词是由于每个非零元都有逆元，可以做“除法”
- 全体有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 都是除环；整数环 \(Z\) 不是除环。
域
定义（从交换环出发）：一个交换环被称为一个域。
定义（从环出发）：如果一个环 \(F\) 存在非零元，且全体非零元构成一个乘法交换群，则 \(F\) 称为一个域。
定义（从群出发）：一个集合 \(F\) 是一个域应该满足 以下三个条件：
- 构成加法交换群；
- 非零元构成乘法交换群；
- 满足分配律。
定理：
-
域一定是除环。
-
全体有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 都是域；整数环 \(Z\) 不是域。
*有限域
元素有限的除环称为有限除环，元素有限的域称为有限域。
当 \(p\) 是素数时，模 \(p\) 剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个域，记为 \(GF(p)\) 。
- 对任意素数 \(p\) ， \(GF(p)\) 是有限域。
子除环与子域
一个除环 \(D\) 的一个子集 \(S\) 构成一个子除环 \(D\) 的条件是：
- \(S\) 包含非零元；
- \(\forall a,b\in S,a-b\in S\)
- \(\forall a,b\in S,b\ne0,ab^{-1}\in S\)
环的同态与理想
环的同态与同构
定义： \((R,+,\cdot)\) 和 \((R',\oplus,\odot)\) 是两个环，如果存在 \(R\) 到 \(R'\) 的一个映射 \(f\) 加法和乘法都在 \(f\) 下得到保持，即：\(\forall a,b\in R:\)
则称 \(f\) 是 \(R\) 到 \(R'\) 的同态映射，简称同态。如果 \(f\) 是单射，则称 \(f\) 是是单同态；如果 \(f\) 是满射，则称 \(f\) 是满同态。如果 \(f\) 是一一映射，则称 \(f\) 是同构，此时称 \((R,+,\cdot)\) 和 \((R',\oplus,\odot)\) 同构，表示为 \(R\cong R'\) 。
零同态
设 \(R\) ， \(S\) 是两个环， \(R\) 到 \(S\) 的映射 \(f\) ：\(\forall r\in R,f(r)=0\) （这里的 \(0\) 是 \(S\) 的零元）
同态性质
\(f\) 是环 \(R\) 到 \(R'\) 的同态，则有：
- \(f(0)=0'\) （ \(0'\) 是 \(R'\) 的零元）
- \(\forall a\in R,f(-a)=-f(a)\)
- 如果 \(R\) 有单位元（ \(R\) 不一定有单位元），则 \(R'\) 也有单位元，且 \(f(1)=1'\) （ \(1'\) 是 \(R'\) 的单位元）
- 如果 \(R\) 有单位元，且 \(a\in R\) 可逆（ \(a\) 不一定有逆元），则 \(f(a)\) 在 \(R'\) 中可逆，且 \(f(a)^{-1}=f(a^{-1})\)
- 如果 \(R\) 是交换环，则 \(R'\) 也是交换环。
注意：没有零因子的性质在同态下不一定保持（在同构下保持）
同构性质
假设两个环 \(R\cong R'\) ，则：
- 如果 \(R\) 是整环，则 \(R'\) 也是整环；
- 如果 \(R\) 是除环，则 \(R'\) 也是除环；
- 如果 \(R\) 是域，则 \(R'\) 也是域；
环同态的核
核：单位元的完全反像
定义
\(f\) 是环 \(R\) 到 \(R'\) 的同态，设 \(0'\) 是 \(R'\) 的零元，则 \(f\) 的核为：
在单同态和同构下， \(ker(f)=\{0\}\) 。
性质
\(f\) 是环 \(R\) 到 \(R'\) 的同态，则有：
- \(ker(f)\) 是环 \(R\) 的一个子环。
- \(f\) 是单同态当且仅当 \(ker(f)=\{0\}\) 。
- \(\forall r\in R,a\in ker(f),s.t.\\f(ra)=f(r)f(a)=0'\\f(ar)=f(a)f(r)=0'\)
环同态的核是特殊的子环——理想
理想
定义
设 \(I\) 是环 \(R\) 的加法子群。
-
如果对于 \(\forall r\in R,a\in I\) ，都有 \(ra\in I\) ，则称 \(I\) 是 \(R\) 的一个左理想。
-
如果对于 \(\forall r\in R,a\in I\) ，都有 \(ar\in I\) ，则称 \(I\) 是 \(R\) 的一个右理想。
-
当 \(I\) 同时是左理想和右理想时，称为理想。
环同态的核是理想；
对于交换环，任意左右理想都是理想；
左右理想都是子环；
理想在环论中的地位相当于正规子群在群论中的地位。
- \(\{0\}\) 是环 \(R\) 的理想，称为零理想； \(R\) 也是 \(R\) 的理想，称为单位理想。零理想和单位理想统称为平凡理想。除了平凡理想的其他理想称为真理想。
- 除环仅有平凡理想，因此理想对除环和域没有太大意义。
\(X\) 生成的理想
设集合 \(X\) 是环 \(R\) 的非空子集， \(\{I_{1},I_{2}...\}\) 是包含 \(X\) 的所有理想，则称它们的交是由 \(X\) 生成的理想，记为 \((X)\) 。 \(X\) 中的元素称为 \((X)\) 的生成元素。当 \(X\) 是有限集时，称 \(X\) 是有限生成的理想 。由一个元素生成的理想 \((a)\) 称为主理想。
\((X)\) 是包含 \(X\) 的最小理想， \((a)\) 是包含元素 \(a\) 的最小理想。
*\((a)\) 包含的元素（推导过程见书）
-
\(R\) 是普通的环：
\((a)=\{\sum x_{i}ay_{i}+xa+ay+na\}\)
-
\(R\) 是交换环：
\((a)=\{xa+na\},(x\in R,n\in Z)\)
-
\(R\) 有单位元：
\((a)=\{\sum x_{i}ay_{i}\}\)
-
\(R\) 是交换环且有单位元：
\((a)=\{xa\},(x\in R)\)
定理
-
环 \(R\) 的非空子集是左理想的充分必要条件： \(\forall a,b\in I,r\in R,s.t.a-b\in I,ra\in I\)
（右理想和理想同理）
-
两个左理想的交是左理想，两个右理想的交是右理想，两个理想的交是理想。
-
如果一个整环上的理想都是主理想，则称为主理想整环。
- 整数环 \(Z\) 是主理想整环
*商环、素理想与最大理想（自学内容，考纲外）
略
