《信息安全数学基础》第三章：循环群

循环群 (medium)

循环群定义

群 $G$ 中的元素都是某个元素 $g$ 的幂，则 $G$ 称为循环群。

$g$ 是 $G$ 的一个生成元， $g$ 生成的循环群 $G$ 记为 $(g)$ 或 $<g>$ 。

循环群分类

• 无限循环群：

  $\{...,g^{-2},g^{-1},g^0,g^1,g^2,...\}$ ，其中 $g^0=e$ 。

• 有限循环群：

  $\{g^0,g^1,g^2,...,g^{n-1}\}$ ，其中 $g^0=e$ 。

有限循环群的阶 = 生成元的阶。

循环群性质

1. 循环群是交换群
2. $n$ 阶循环群中有 $g^n=e$
3. $\mathrm{\forall }i,j\in Z$ ，若 $i\equiv j(modn)$ ，则 $ g^{i}=g,g^{i}$ 的逆元：$g^{n-i}$

一般的群的元素的阶

设 $G$ 是一个一般群，$a$ 是其中一个元素。

1. $a$ 的幂两两不相等，$a$ 生成的是无限循环群。$a$ 是无限阶元素。
2. $\mathrm{\forall }i>j\in Z,s.t.a^i=a^j$ ，则 $a^{i-j}=e$ 。令 $k=i-j,a^k=e$ ，使 $a^k=e$ 成立的最小正整数 $n$ 为元素 $a$ 的阶。

定理

1. 群 $G$ 中任意元素 $a$ 都能生成一个循环群，$(a)$ 是 $G$ 的子群。

   若 $a$ 是无限阶元素，$a$ 生成无限循环群；若 $a$ 是 $n$ 阶元素，生成 $n$ 阶循环群。

2. 对 $n$ 阶元素 $a$ ：

   1. $a^i=1\iff n|i$
   2. $a^k$ 的阶为 $\frac{n}{(k,n)}$

3. 循环群的子群

   1. 循环群的子群是循环群，为 $\{e\}$ 或由子群中具有最小正指数的元素生成。
   2. 无限循环群的子群除 $\{e\}$ 外都是无限循环群。
   3. $n$ 阶循环群的子群的阶是 $n$ 的正因子，且对每个正因子 $q$ ，有且仅有一个 $q$ 阶子群。

剩余类群

概念

设 $m\in N^{\ast },a=qm+r,0\le r<m,q=0,\pm 1,\pm 2,...$ 。

• 剩余类：模 $m$ 同余的一类数
• 剩余/代表：剩余类中的每一个数
• 最小非负剩余： $r$ 成为该剩余类的最小非负剩余
• 模 $m$ 剩余类：全体整数按模 $m$ 分成 $m$ 个剩余类： $\bar{0},\bar{1},...,\overline{m-1}$
  • $\bar{0}=\{0,\pm m,\pm 2m,...\}$
  • $\bar{1}=\{1,1+\pm m,1+\pm 2m,...\}$
  • $...$
  • $\overline{m-1}=\{(m-1),(m-1)+\pm m,(m-1)+\pm 2m,...\}$
• 剩余类群：模 $m$ 全体剩余类对于剩余类加法构成 $m$ 阶循环群

性质

• 任意无限循环群与整数加群 $(Z,+)$ 同构；
• 任意 $n$ 阶循环群与 $n$ 阶剩余类加群同构。

子群的陪集

陪集定义

设： $H\le G,\mathrm{\forall }a\in G,h\in H$ ：

• 左陪集：$aH=\{ah|a\in G,h\in H\}$
• 右陪集：$Ha=\{ha|a\in G,h\in H\}$

对于交换群，左右陪集一致，称为陪集。

陪集性质

1. $aH=H\iff a\in H$ —— $H$ 也是自己的一个左陪集（右陪集，以下省略）
2. $b\in aH\iff aH=bH$ ——左陪集可由 $aH$ 中任一元素 $b$ 唯一确定；左陪集中任一元素可作为左陪集的代表元
3. $aH=bH\iff a^{-1}b\in H$ ——两个左陪集相等的条件（ $a$ ，$b$ 在同一左陪集中）
4. $\mathrm{\forall }a,b\in G,aH=bH$ 或 $aH\cap bH=\varnothing$ —— $G$ 可表示为若干不相交的左陪集的并集

指数

子群 $H$ 在群 $G$ 中的指数：$H$ 互不相交的左陪集的个数。

（其中只有 $H$ 自身有单位元，别的左陪集都不是群）

拉格朗日定理（point）

$G$ 是有限群， $H\le G$ ，则 $|H|\mid |G|$

推论：

1. 有限群 $G$ 中每个元素的阶一定是 $G$ 的阶的因子

   设 $G$ 阶为 $n$ ，$\mathrm{\forall }a\in G,a^n=e$

2. 阶为素数的群一定为循环群

同构基本定理

若 $f$ 是 $G\to G^{\prime }$ 的满同态映射，则 $G/ker(f)\cong G^{\prime }$

（其中 $G/ker(f)=\{gker(f)\mid g\in G\}$ ，即 $G$ 关于 $ker(f)$ 的陪集构成的集合）

正规子群、商群

正规子群定义

$H\le G,\mathrm{\forall }a,aH=Ha$ （ $\iff H$ 的每一个左陪集也都是右陪集）$\Rightarrow H$ 是 $G$ 的正规子群（不变子群）。

$Abel$ 群的所有子群都是正规子群，反之不一定成立。

正规子群四个等价命题

令 $H\le G$

1. $H$ 是 $G$ 的正规子群，$\mathrm{\forall }a,aH=Ha$
2. $\mathrm{\forall }a\in G,aH{a}^{-1}=H$
3. $\mathrm{\forall }a\in G,h\in H,ah{a}^{-1}\subseteq H$
4. $\mathrm{\forall }a\in G,aH{a}^{-1}\subseteq H$

陪集的乘法

$A,B\subseteq G$ ， $A$ 和 $B$ 的乘积 $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$

若 $A\le G,b\in G$ ，令 $B=\{b\}$ ，则 $A$ 的左陪集 $bA$ 可表示为 $BA$ ——陪集的乘法

定理：

设 $H\le G$ ， $H$ 是正规子群 $\iff$ 任意两个左陪集的乘积仍是左陪集

商群

$H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $H$ 的全体陪集 $\{aH\mid a\in G\}$ （陪集个数为 $\frac{|G|}{|H|}$ ）对于群子集的乘法构成群，称为 $G$ 对正规子群 $H$ 的商群，记为 $G/H$

性质：

• 令 $f(a)=aH,G\stackrel{f}{\to }G/H,a\in G$ ，$f$ 是 $G$ 到 $G/H$ 的满同态，称为自然同态。

• 任何群与它的商群同态。

（咕咕了好久，再不填坑22级都要开始学了）