《信息安全数学基础》第二章：群
群 (easy)
群的定义
设 \(S\) 是一个非空集合，在 \(S\) 上定义一个代数运算，称为乘法 $\cdot $，记 \(a\cdot b\)，而且这个运算满足以下条件，那么 \((S,\ \cdot\ )\) 称为一个——
- 封闭性：\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\)
- 结合律：\(\forall a,b,c\in S,a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\)
——半群
- 左单位元：\(\forall a\in S,\exists e\in S.\ s.t.\ ea=a\)
- 左逆元：\(\forall a\in S,\exists a^{-1}\in S.\ s.t.\ a^{-1}a=e\)
——群
- 交换律：\(\forall a,b\in S,a\cdot b=b\cdot a\)
——Abel群/交换群
交换群存在右单位元和右逆元，且左单位元（逆元）同时也是右单位元（逆元），即：
存在唯一单位元、逆元，不区分左右
群 \(G\) 元素个数无限：群 \(G\) 是无限群；群 \(G\) 元素个数有限：群 \(G\) 是有限群。
\(G\) 中元素个数称为 \(G\) 的阶，记为 \(|G|\)
消去律
设 \(G\) 是乘法群，则乘法一定满足消去律，即设 \(a,x,x',y,y'\in G\)
左消去律：若 \(ax=ax'\)，则 \(x=x'\)；
右消去律：若 \(ya=y'a\)，则 \(y=y'\)。
任意代数系统中，由于交换律不一定成立，所以左消去律成立不能保证右消去律成立。
群的判别
定理
\(G\) 是一个群，\(\rightarrow\) \(\forall a,b\in G\)，方程 \(ax=b,ya=b\) 有解；方程 \(ax=b,ya=b\) 在非空集合 \(G\) 中有解，且运算封闭满足结合律 \(\rightarrow\) \(G\) 是一个群
要求封闭：因为方程中 \(x\) 不是任意的，方程有解的条件不能满足封闭性，所以需要额外增加封闭条件
推论（换一种表述）
若非空集合 \(G\) 中运算封闭满足结合律，则：
\(G\) 是一个群，\(\leftrightarrow\) \(\forall a,b\in G\)，方程 \(ax=b,ya=b\) 有解
定理
若非空有限集合 \(G\) 中运算封闭满足结合律，则：
\(G\) 是一个群，\(\leftrightarrow\) \(G\) 满足消去律
为何有限？
——无限集合可以与它的真子集形成一一对应关系，如整数集 \(Z\) 和 \(2Z\)
子群 (easy)
子群定义
一个群 \(G\) 的一个非空子集 \(H\) 若对于 \(G\) 的乘法构成群，则称为 \(G\) 的子群，记为 \(H\le G\)
任意群 \(G\) 至少含两个子群：平凡子群—— \(G\) 和 \(\{e\}\) ；真子群——其他子群。
子群性质
一个群 \(G\) 的它的子群 \(H\) 有：
- \(G\) 和 \(H\) 的单位元同一
- 若 \(a\in H,a^{-1}\) 是 \(a\) 在 \(G\) 中逆元，则 \(a^{-1}\in H\)
子群判定
-
一个群 \(G\) 的一个非空子集 \(H\) 构成一个子群
\(\leftrightarrow\) （1）\(\forall a,b\in H,ab\in H\)，（2）\(\forall a\in H,a^{-1}\in H\)
-
一个群 \(G\) 的一个非空子集 \(H\) 构成一个子群
\(\leftrightarrow\) \(\forall a,b\in H,ab^{-1}\in H\)
-
一个群 \(G\) 的一个非空有限子集 \(H\) 构成一个子群
\(\leftrightarrow\) \(\forall a,b\in H,ab\in H\) 即只要满足封闭性
同态与同构 (medium)
同态与同构定义
设代数系统 \((A,\ \cdot)\) 和 \((B,\ \odot)\)，若存在映射 \(f\) ，把 \(A\) 中元素映射到 \(B\) 中，且：
\(\forall a,b\in A,\ f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)\)
这个映射属于同态映射
“同态”理解为同样形态，但不一定是相同的运算
\(同态映射+\left\{\begin{matrix} 单射：单同态 \\ 满射：满同态 \\ 一一映射：同构 \end{matrix}\right.\)
- 若 \(G=G'\)，同态 \(f\) 称为自同态，同构映射 \(f\) 称为自同构映射
- 若 \(f\) 是从 \(G\) 到 \(G'\) 的映射，\(f\) 是同构映射，则称 \(G\) 与 \(G'\) 同构，记为 \(G\cong G'\)；若 \(G= G'\)，则称 \(G\) 自同构。
同态的性质
设 \(G\) 与 \(G'\) 是两个群，在 \(G\) 到 \(G'\) 的一个（同态映射）\(f\) 之下：
- \(G\) 的单位元 \(e\) 的像 \(f(e)\) 是 \(G'\) 的单位元，即：\(f(e)=e'\)
- \(G\) 中任意元素 \(a\) 的逆元 \(a^{-1}\) 的像 \(f(a^{-1})\) 是 \(f(a)\) 的逆元，即：\(f(a^{-1})=f(a)^{-1}\)
- \(G\) 在 \(f\) 下像的集合 \(\{\ f(a)\ |\ a\in G\}\) 称为 \(f\) 的像子群
同态映射的核/核子群
完全反像：集合 \(\{a\in G\ |\ f(a)=a'\}\) 是 \(a^{-1}\) 的完全反像
核：\(ker(f)\) ：单位元 \(e'\) 的完全反像，\(ker(f)=\{a\in G\ |\ f(a)=e'\}\)
定理
-
\(ker(f)\) 是 \(G\) 的子群，称为 \(f\) 的核子群
-
\(G\) 到 \(G'\) 的同态 \(f\) 是单同态 \(\leftrightarrow ker(f)=\{e\}\)
证明：
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充分性（反证）：设 \(f(a)=f(b),a、b\in G,a\ne b\)
则 \(f(a)f(b)^{-1}=e'\) 即 \(f(ab^{-1})=e',ab^{-1}=e\) 与 \(a\ne b\) 矛盾
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必要性：若 \(ker(f)\ne \{e\},e\in ker(f)\) ，则 \(ker(f)\) 包含其他元素，则 \(f\) 不是单射
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