《信息安全数学基础》第二章：群

群 (easy)

群的定义

设 $S$ 是一个非空集合，在 $S$ 上定义一个代数运算，称为乘法 $\cdot$，记 $a\cdot b$，而且这个运算满足以下条件，那么 $(S,\cdot )$ 称为一个——

1. 封闭性：$\mathrm{\forall }a,b\in S,a\cdot b\in S$
2. 结合律：$\mathrm{\forall }a,b,c\in S,a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

——半群

3. 左单位元：$\mathrm{\forall }a\in S,\mathrm{\exists }e\in S.s.t.ea=a$
4. 左逆元：$\mathrm{\forall }a\in S,\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in S.s.t.a^{-1}a=e$

——群

5. 交换律：$\mathrm{\forall }a,b\in S,a\cdot b=b\cdot a$

——Abel群/交换群

交换群存在右单位元和右逆元，且左单位元（逆元）同时也是右单位元（逆元），即：

存在唯一单位元、逆元，不区分左右

群 $G$ 元素个数无限：群 $G$ 是无限群；群 $G$ 元素个数有限：群 $G$ 是有限群。

$G$ 中元素个数称为 $G$ 的阶，记为 $|G|$

消去律

设 $G$ 是乘法群，则乘法一定满足消去律，即设 $a,x,x^{\prime },y,y^{\prime }\in G$

左消去律：若 $ax=a{x}^{\prime }$，则 $x=x^{\prime }$；

右消去律：若 $ya=y^{\prime }a$，则 $y=y^{\prime }$。

任意代数系统中，由于交换律不一定成立，所以左消去律成立不能保证右消去律成立。

群的判别

定理

$G$ 是一个群，$\to$ $\mathrm{\forall }a,b\in G$，方程 $ax=b,ya=b$ 有解；方程 $ax=b,ya=b$ 在非空集合 $G$ 中有解，且运算封闭满足结合律 $\to$ $G$ 是一个群

要求封闭：因为方程中 $x$ 不是任意的，方程有解的条件不能满足封闭性，所以需要额外增加封闭条件

推论（换一种表述）

若非空集合 $G$ 中运算封闭满足结合律，则：

$G$ 是一个群，$\leftrightarrow$ $\mathrm{\forall }a,b\in G$，方程 $ax=b,ya=b$ 有解

定理

若非空有限集合 $G$ 中运算封闭满足结合律，则：

$G$ 是一个群，$\leftrightarrow$ $G$ 满足消去律

为何有限？

——无限集合可以与它的真子集形成一一对应关系，如整数集 $Z$ 和 $2Z$

子群 (easy)

子群定义

一个群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 若对于 $G$ 的乘法构成群，则称为 $G$ 的子群，记为 $H\le G$

任意群 $G$ 至少含两个子群：平凡子群—— $G$ 和 $\{e\}$ ；真子群——其他子群。

子群性质

一个群 $G$ 的它的子群 $H$ 有：

1. $G$ 和 $H$ 的单位元同一
2. 若 $a\in H,a^{-1}$ 是 $a$ 在 $G$ 中逆元，则 $a^{-1}\in H$

子群判定

1. 一个群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 构成一个子群

   $\leftrightarrow$ （1）$\mathrm{\forall }a,b\in H,ab\in H$，（2）$\mathrm{\forall }a\in H,a^{-1}\in H$

2. 一个群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 构成一个子群

   $\leftrightarrow$ $\mathrm{\forall }a,b\in H,a{b}^{-1}\in H$

3. 一个群 $G$ 的一个非空有限子集 $H$ 构成一个子群

   $\leftrightarrow$ $\mathrm{\forall }a,b\in H,ab\in H$ 即只要满足封闭性

同态与同构 (medium)

同态与同构定义

设代数系统 $(A,\cdot )$ 和 $(B,\odot )$，若存在映射 $f$ ，把 $A$ 中元素映射到 $B$ 中，且：

$\mathrm{\forall }a,b\in A,f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)$

这个映射属于同态映射

“同态”理解为同样形态，但不一定是相同的运算

$\mathrm{同}\mathrm{态}\mathrm{映}\mathrm{射}+\{\begin{array}{c}\mathrm{单}\mathrm{射}：\mathrm{单}\mathrm{同}\mathrm{态}\\ \mathrm{满}\mathrm{射}：\mathrm{满}\mathrm{同}\mathrm{态}\\ \mathrm{一}\mathrm{一}\mathrm{映}\mathrm{射}：\mathrm{同}\mathrm{构}\end{array}$

• 若 $G=G^{\prime }$，同态 $f$ 称为自同态，同构映射 $f$ 称为自同构映射
• 若 $f$ 是从 $G$ 到 $G^{\prime }$ 的映射，$f$ 是同构映射，则称 $G$ 与 $G^{\prime }$ 同构，记为 $G\cong G^{\prime }$；若 $G=G^{\prime }$，则称 $G$ 自同构。

同态的性质

设 $G$ 与 $G^{\prime }$ 是两个群，在 $G$ 到 $G^{\prime }$ 的一个（同态映射）$f$ 之下：

1. $G$ 的单位元 $e$ 的像 $f(e)$ 是 $G^{\prime }$ 的单位元，即：$f(e)=e^{\prime }$
2. $G$ 中任意元素 $a$ 的逆元 $a^{-1}$ 的像 $f(a^{-1})$ 是 $f(a)$ 的逆元，即：$f(a^{-1})=f(a{)}^{-1}$
3. $G$ 在 $f$ 下像的集合 $\{f(a)|a\in G\}$ 称为 $f$ 的像子群

同态映射的核/核子群

完全反像：集合 $\{a\in G|f(a)=a^{\prime }\}$ 是 $a^{-1}$ 的完全反像

核：$ker(f)$ ：单位元 $e^{\prime }$ 的完全反像，$ker(f)=\{a\in G|f(a)=e^{\prime }\}$

定理

1. $ker(f)$ 是 $G$ 的子群，称为 $f$ 的核子群

2. $G$ 到 $G^{\prime }$ 的同态 $f$ 是单同态 $\leftrightarrow ker(f)=\{e\}$

   证明：

   1. 充分性（反证）：设 $f(a)=f(b),a、b\in G,a\ne b$

      则 $f(a)f(b{)}^{-1}=e^{\prime }$ 即 $f(a{b}^{-1})=e^{\prime },a{b}^{-1}=e$ 与 $a\ne b$ 矛盾

   2. 必要性：若 $ker(f)\ne \{e\},e\in ker(f)$ ，则 $ker(f)$ 包含其他元素，则 $f$ 不是单射