《信息安全数学基础》第一章：整除与同余

整除（easy）

整除定义

若 $\forall a, b \in Z, b \neq 0, \exists q \in Z . s . t . a = q b .$ 则称：

$b$ 整除 $a$ ，或 $a$ 被 $b$ 整除，记为： $b ∣ a$

$b$ 不整除 $a$ ： $b ∤ a$

整除性质

设 $a, b, c \in Z$

若 $b ∣ a$ , $a ∣ b$ , 则 $b = \pm a$ .
若 $a ∣ b$ , $b ∣ c$ , 则 $a ∣ c$ .
若 $c ∣ a$ , $c ∣ b$ , 则 $c ∣ u a + v b$ , $u, v \in Z$ .
若 $c ∣ a_{1}$ , $. . .$ , $c ∣ a_{k}$ , 则 $\forall u_{1},$ $. . .$ $, u_{k} \in Z, s . t . c ∣ (u_{1} a_{1} +$ $. . .$ $+ u_{k} a_{k})$

带余除法

定义

$\forall a, b \in Z, b \neq 0, a = q b + r ， 0 \leq r < | b | .$
$q$ ：不完全商， $r$ ：余数

显然当 $r = 0$ 时 $b ∣ a$

存在性证明

当 $b ∣ a$ 时，取 $q = \frac{a}{b}, r = 0$
当 $b ∤ a$ 时，取集合 $T = {a - k b, k = 0, \pm 1, \pm 2 . . .}$
设 $T^{'}$ 为 $T$ 的正整数子集，则存在其中最小正整数 $t_{0} = a - k, a - k_{0} b > 0$
下证 $t_{0} < | b |$ ：
若 $t_{0} = | b |$ 则 $b ∣ a$ ，矛盾
若 $t_{0} > | b |$ 则 $\exists t_{1} = t_{0} - | b | \in T$ 且 $0 < t_{1} < t_{0}$ 与 $t_{0}$ 最小矛盾
所以 $0 < t_{0} < | b |, a = k_{0} b + t_{0}, q = k_{0}, r = t_{0}$

唯一性证明

如果 $a = q_{1} b + r_{1}, a = q_{2} b + r_{2}, 0 \leq r_{1}, r_{2} < b (q_{1} \neq q_{2}, r_{1} \neq r_{2})$
则 $b \leq | (q_{1} - q_{2}) b | = | - (r_{1} - r_{2}) | < b$ 矛盾

前：因为 $q_{1} \neq q_{2}$ ；后：因为 $0 \leq r_{1}, r_{2} < b$

所以 $q_{1} = q_{2}, r_{1} = r_{2}$ 即 $q, r$ 唯一

最大公因数 $g c d$ 与最小公倍数 $l c m$ (easy)

公因子

$a, b \in Z$ ，若整数 $c ∣ a$ , $c ∣ b$ ,则 $c$ 称为 $a, b$ 的公因子

最大公因子

定义（三个条件）

$c > 0$
$c$ 是 $a, b$ 的公因子
$a, b$ 的任何公因子都整除 $c$

则 $c$ 称为 $a, b$ 的最大公因子（ $c$ 唯一）
记为： $c = (a, b)$ 或 $c = g c d (a, b)$

性质

$(a, b) = (\pm a, \pm b) = (| a |, | b |)$
$(0, a) = | a |$
若 $a ∣ b$ ，则 $(a, b) = a$
$\forall x, y \in Z, (a, b) ∣ (a x + b y)$
若 $a = b q + c, q \in Z$ ，则 $(a, b) = (b, c)$
若 $(a, c) = 1, b ∣ c$ ，则 $(a, b) = 1$
$(\frac{a}{(a, b)}, \frac{b}{(a, b)}) = 1$
设 $a_{1}, . . ., a_{k}$ 是 $k$ 个不全为零的整数
$(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}) = (a_{1}, (a_{2}, . . ., a_{k})) = . . . = (a_{1}, (a_{2}, . . ., (a_{k - 1}, a_{k}) . . .))$

公倍数与最小公倍数 (easy)

$m > 0, a ∣ m, b ∣ m, m ∣ k$ （ $k$ 为任何公倍数)

性质类比最小公因数

则 $m = [a, b] = l c m (a, b)$

性质

辗转相除法 (medium)(*point)

Tips：必考计算题

欧几里得除法/辗转相除法

过程

\begin{aligned} 设 a, b \in N_{+}, 记 r_{0} = a, r_{1} = b, 有 ： \\ r_{0} = q_{1} r_{1} + r_{2} & 0 < r_{2} < r_{1} \\ r_{1} = q_{2} r_{2} + r_{3} & 0 < r_{3} < r_{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ r_{l - 2} = q_{l - 1} r_{l - 1} + r_{l} & 0 < r_{l} < r_{l - 1} \\ r_{l - 1} = q_{l} r_{l} \\ r_{l} = (a, b) \end{aligned}

证明

根据最大公因子的三个条件

$r_{l} > 0$ 显然

首先证明 $r_{l}$ 是 $a, b$ 的公因子：(从后往前推)

从 $r_{l - 1} = q_{l} r_{l}$ 得到 $r_{l} ∣ r_{l - 1}$ 即 $r_{l} ∣ (r_{l}, r_{l - 1})$

从 $r_{l - 2} = q_{l - 1} r_{l - 1} + r_{l}$ 得到 $r_{l} ∣ r_{l - 2}$ 即 $r_{l} ∣ (r_{l - 1}, r_{l - 2})$

$. . .$

可以得到 $r_{l} ∣ (r_{0}, r_{1})$ 即 $r_{l}$ 是 $a, b$ 的公因子

其次证明 $r_{l}$ 是最大公因子，即任意公因子 $d ∣ r_{l}$ ：(从前往后推)

若 $d$ 是 $a, b$ 的任意公因子

从 $r_{0} = q_{1} r_{1} + r_{2}$ 得到 $d ∣ r_{2}$

$. . .$

可以得到 $d ∣ r_{l}$

根据最大公因子定义得到 $r_{l} = (a, b)$

欧几里得扩展算法

后续章节用于求逆元

过程

\begin{aligned} r_{2} 可 表 示 为 r_{0} = a, r_{1} = b 的 组 合 ， 即 r_{2} = r_{0} - q_{1} r_{1} \\ r_{3} 可 表 示 为 r_{1}, r_{2} 的 组 合 ， 即 r_{3} = r_{1} - q_{2} r_{2} \\ ⋮ \\ r_{l} 可 表 示 为 r_{l - 1}, r_{l - 2} 的 组 合 ， 即 r_{l} = r_{l - 2} - q_{l - 1} r_{l - 1} \\ 所 以 r_{l} = (a, b) 可 表 示 为 a, b 的 线 性 组 合 \end{aligned}

性质

$a, b$ 不全为零， $\exists u, v \in Z, (a, b) = u a + v b$

当 $(a, b) = 1, \exists u, v \in Z, u a + v b = 1, (u + b) % b$ 即为 $a$ 对于模 $b$ 的逆元

素数与互素 (easy)

互素

定义

设 $a, b$ 不全为零，若 $(a, b) = 1$ ，则称 $a, b$ 互素

推论

$(a, b) = 1 \leftrightarrow \exists u, v \in Z . s . t . u a + v b = 1$

推论证明

必要性：见扩欧算法部分
充分性：若 $\exists u, v \in Z . s . t . u a + v b = 1$

则 $(a, b) ∣ (u a + v b)$ ，得 $(a, b) ∣ 1$ ，所以 $(a, b) = 1$

性质

设 $a, b, c$ 为非零整数，则：

若 $c ∣ a b$ 且 $(c, a) = 1$ ，则 $c ∣ b$
若 $a ∣ c, b ∣ c$ 且 $(a, b) = 1$ ，则 $a b ∣ c$
若 $(a, c) = 1, (b, c) = 1$ ，则 $(a b, c) = 1$

素数

定义

整数 $p$ 除 $\pm 1, \pm p$ 外无其他因子， $p$ 为素数，否则为合数

性质

$\forall a \in Z$ ，若 $p ∤ a$ ，则 $(p, a) = 1$
若 $p ∣ a b$ ，则 $p ∣ a$ 或 $p ∣ b$

算术基本定理

任何大于 $1$ 的整数 $a$ 都可以分解为有限个素数的乘积：

$a = p_{1} p_{2} . . . p_{r}$ 除素因子排列外是唯一的

证明唯一性

设 $a = p_{1} p_{2} . . . p_{r} = q_{1} q_{2} . . . q_{s}$

由 $p_{1} ∣ q_{1} q_{2} . . . q_{s}$ ，假设 $p_{1} ∣ q_{1}$ ，则 $p_{1} = q_{1}$ ，得 $p_{2} . . . p_{r} = q_{2} . . . q_{s}$

同理得 $p_{1} p_{2} . . . p_{r}$ 与 $q_{1} q_{2} . . . q_{s}$ 都相同

标准因子分解式

$a$ 的分解式可表示为有限个素数的幂次的乘积：

$a = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} . . . p_{r}^{k_{r}}$ 称为 $a$ 的标准因子分解式

筛 (easy)

Eratosthenes筛

步骤

找出小于等于 $\sqrt{N}$ 的全部素数： $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{m}$
在 $1$ ~ $N$ 中分别划去 $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{m}$ 的全部倍数（不包括它们自身）

原理

对于一个正整数 $a \leq N$ ，如果素数 $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{m}$ （ $\leq \sqrt{N}$ ）都不整除 $a$ ，则 $a$ 是素数

为什么是 $\sqrt{N}$

设 $a \in Z, a > 1$ ，则 $a$ 除 $1$ 外最小正因子是素数，且当 $a$ 是合数时， $q \leq \sqrt{a}$

同余 (easy)

定义

$a, b \in Z$ ，给定一个称为模的正整数 $m, \exists q_{1}, q_{2} \in Z . s . t . a = q_{1} m + r, b = q_{2} m + r, 0 \leq r < m$

则称 $a, b$ 关于模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (m o d m)$

同余的三个等价定义

$a, b \in Z, m \in N_{+}, \exists q_{1}, q_{2} \in Z . s . t . a = q_{1} m + r, b = q_{2} m + r, 0 \leq r < m$
$m ∣ (a - b)$
$a = b + m t, t \in Z$

性质

设 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c, b, a \in Z, m \in N_{+}$ ，且 $a_{1} \equiv b_{1} (m o d m), a_{2} \equiv b_{2} (m o d m)$

$a_{1} \pm a_{2} \equiv b_{1} \pm b_{2} (m o d m)$
$a_{1} a_{2} \equiv b_{1} b_{2} (m o d m)$
若 $a c \equiv b c (m o d m), (c, m) = 1$ ，则 $a \equiv b (m o d m)$
若 $a \equiv b (m o d m), d ∣ m, d \in N_{+}$ ，则 $a \equiv b (m o d d)$

推论

若 $a_{1} \equiv b_{1} (m o d m), a_{2} \equiv b_{2} (m o d m)$ ，则：

$\forall x, y \in Z, a_{1} x + a_{2} y \equiv b_{1} x + b_{2} y (m o d m)$
$a_{1}^{n} \equiv b_{1}^{n} (m o d m), n \in N_{+}$
$f (a_{1}) \equiv f (b_{1}) (m o d m)$ ，其中 $f (x)$ 是任一给定的整系数多项式：

$f (x) = c_{0} + c_{1} x + . . . + c_{n} x^{n}$

快速指数算法——模重复平方计算法 (*point)

即快速幂，利用推论 $2$ 可证

后续数论计算题的基础知识

posted @ 2023-02-27 18:59 IrisHyaline 阅读(113) 评论(0) 编辑收藏举报

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