POJ1821 Fence

一道单调队列优化\(DP\)。

原题链接

设\(f[i][j]\)表示前\(i\)个工匠粉刷前\(j\)块木板（可以有不刷的木板）能获得的最大报酬。

1. 第\(i\)个工匠可以不刷第\(j\)块木板，此时\(f[i][j]=f[i-1][j]\)。
2. 第\(j\)块木板可以不刷，此时\(f[i][j]=f[i][j-1]\)。
3. 第\(i\)个工匠刷第\(k+1\sim j\)块木板，\(k+1\leqslant S_i\leqslant j,j-k\leqslant L_i\)，此时\(f[i][j]=\max\limits_{j-L_i\leqslant k\leqslant S_i-1}\{f[i-1][k]+P_i\times (j-k)\},\text{且}j\geqslant S_i\)
   考虑化简第三个转移方程
   \(f[i][j]=\max\limits_{j-L_i\leqslant k\leqslant S_i-1}\{f[i-1][k]+P_i\times (j-k)\}\)
   \(\ \ \ \ \ \ \ \ \,=\max\limits_{j-L_i\leqslant k\leqslant S_i-1}\{f[i-1][k]+P_i\times j-P_i\times k\}\)
   \(\ \ \ \ \ \ \ \ \,=P_i\times j+\max\limits_{j-L_i\leqslant k\leqslant S_i-1}\{f[i-1][k]-P_i\times k\}\)
   这样我们就可以用单调队列维护这个\(max\)，将复杂度降至\(O(1)\)。
   总时间复杂度\(O(nm)\)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 16010;
const int M = 110;
struct dd {
	int L, P, S;
};
dd a[M];
int f[M][N],q[N];
int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c<'0' || c>'9'; c = getchar())
		p = (c == '-' || p) ? 1 : 0;
	for (; c >= '0'&&c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + (c - '0');
	return p ? -x : x;
}
inline int maxn(int x, int y)
{
	return x > y ? x : y;
}
int comp(dd x, dd y)
{
	return x.S < y.S;
}
int calc(int i, int k)
{
	return f[i - 1][k] - a[i].P*k;
}
int main()
{
	int i, j, n, m, k, l, r;
	n = re();
	m = re();
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		a[i].L = re();
		a[i].P = re();
		a[i].S = re();
	}
	sort(a + 1, a + m + 1, comp);
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		for (l = 1, r = 0, k = maxn(0, a[i].S - a[i].L); k <= a[i].S - 1; k++)
		{
			while (l <= r && calc(i, q[r]) <= calc(i, k))
				r--;
			q[++r] = k;
		}
		for (j = 1; j <= n; j++)
		{
			f[i][j] = maxn(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
			if (j >= a[i].S)
			{
				while (l <= r && q[l] < j - a[i].L)
					l++;
				if (l <= r)
					f[i][j] = maxn(f[i][j], calc(i, q[l]) + a[i].P*j);
			}
		}
	}
	printf("%d", f[m][n]);
	return 0;
}