洛谷1040 加分二叉树

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挺水的一道区间$DP$。
设$f[i][j]$表示在中序遍历下编号$i \sim j$的点所构成的子树的最高加分，枚举$k$为子树的根，则有状态转移方程：

$$f[i][j] = \max \limits _{k = i + 1} ^ {j - 1} \{ f[i][k - 1] \times f[k + 1][j] + f[k][k] \}$$

初始化$f[i][i]$为点$i$的分数，$f[i][j] = f[i][i] + f[i + 1][j]$，即左子树为空。
因为题目并没有说清楚，实际上要求的前序遍历是所有解中字典序最小的，所以我们要尽量使得编号小的作为根或是左子树中的点，按编号从小到大枚举哪个作为根即可。
求前序遍历可以定义$r[i][j]$表示在中序遍历下编号$i \sim j$的点所构成的子树的最高加分所选择的根，在$DP$过程中不断更新，最后递归输出即可。

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 50;
ll f[N][N];
int r[N][N];
inline int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
		p |= c == '-';
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + c - '0';
	return p ? -x : x;
}
void pr(int x, int y)
{
	if (x > y)
		return;
	printf("%d ", r[x][y]);
	pr(x, r[x][y] - 1);
	pr(r[x][y] + 1, y);
}
int main()
{
	int i, j, k, l, n;
	n = re();
	for (i = 1; i <= n; i++)
		f[i][i] = re(), r[i][i] = i;
	for (l = 2; l <= n; l++)
		for (i = 1; i + l - 1 <= n; i++)
		{
			j = i + l - 1;
			f[i][j] = f[i][i] + f[i + 1][j];
			r[i][j] = i;
			for (k = i + 1; k < j; k++)
				if (f[i][j] < f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k])
				{
					f[i][j] = f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k];
					r[i][j] = k;
				}
		}
	printf("%lld\n", f[1][n]);
	pr(1, n);
	return 0;
}