04_LaTeX之数学公式

04_$LATEX$ 之数学公式

目录

• 04_$LATEX$ 之数学公式
  • $\text{AMS}$ 宏集
  • 公式排版基础
    • 行内和行间公式
    • 数学模式
  • 数学符号
    • 一般符号
    • 指数、上下标和导数
    • 分式和根式
    • 关系符
    • 运算符
    • 巨算符
    • 数学重音和上下括号
    • 箭头
    • 括号和定界符
  • 多行公式
    • 长公式折行
    • 多行公式
    • 公用编号的多行公式
  • 数组和矩阵
  • 公式中的间距
  • 数学符号的字体控制
    • 数学字母字体
    • 加粗的数学符号
    • 数学符号的尺寸
  • 定理环境
    • $LATEX$ 原始的定理环境
    • amsthm 宏包
    • 证明环境和证毕符号
  • 符号表
  • 参考文献

本文主体内容来自一份 (不太) 简短的 LATEX2ε 介绍。

本章将见识到 $LATEX$ 闻名的强项——排版数学公式。

$\text{AMS}$ 宏集

在介绍数学公式排版之前，简单介绍一下 $\text{AMS}$ 宏集。$\text{AMS}$ 宏集合是美国数学学会(American Mathematical Society)提供的对$LATEX$ 原生的数学公式排版的扩展，其核心是 amsmath 宏包，对多行公式的排版提供了有力的支持。此外，amsfonts 宏包以及基于它的 amssymb 宏包提供了丰富的数学符号；amsthm 宏包扩展了 $LATEX$ 定理证明格式。

以下示例都假定了导言区中写有 \usepackage{amsmath} 。

公式排版基础

行内和行间公式

数学公式有两种排版方式：其一是与文字混排，称为行内公式；其二是单独列为一行排版，称为行间公式。

行内公式由一对 $\mathtt{\text{\$}}$ 符号包裹：The Pythagorean theorem is $a^2+b^2=c^2$ ($a^2 + b^2 = c^2$)。

单独成行的行间公式由 $\mathtt{\text{equation}}$ 环境包裹。 $\mathtt{\text{equation}}$ 环境为公式自动生成一个编号，这个编号可以用\label 和 \ref 生成交叉引用，amsmath 的 \eqref 命令甚至为引用自动加上圆括号；还可以用\tag 命令手动修改公式的编号，或者用\notag 命令取消为公式编号（与之基本等效的命令是 \nonumber）。

\begin{equation}
1 + 1 = 3 \tag{dumb}
\end{equation}

\begin{equation}
1 + 1 = 4 \notag
\end{equation}

$$\begin{array}{}\text{(dumb)}& 1+1=3\end{array}$$

$$1+1=4$$

如果需要直接使用不带编号的行间公式，则将公式用命令 \[ 和 \] 包裹，与之等效的是 $\mathtt{\text{displaymath}}$ 环境。有的人更喜欢 $\mathtt{\text{equation*}}$ 环境，体现了带星号和不带星号的环境之间的区别。

通过一个例子展示行内公式和行间公式的对比。为了与文字相适应，行内公式在排版大的公式元素（分式、巨算符等）时显得很“局促”：

行间公式的对齐、编号位置等性质由文档类选项控制，文档类的 $\mathtt{\text{fleqn}}$ 选项令行间公式左对齐；$\mathtt{\text{leqno}}$ 选项令编号放在公式左边。

数学模式

当用户使用 $\mathtt{\text{\$}}$ 开启行内公式输入，或是使用 \[ 命令、$\mathtt{\text{equation}}$ 环境时，$LATEX$ 就进入了数学模式。

数学模式相比于文本模式有以下特点：

1. 数学模式中输入的空格被忽略。数学符号的间距默认由符号的性质（关系符号、运算符等）决定。需要人为引入间距时，\quad 和 \qquad 等命令。
2. 不允许有空行（分段）。行间公式中也无法用 \\命令手动换行。
3. 所有的字母被当作数学公式中的变量处理，字母间距与文本模式不一致，也无法生成单词之间的空格。如果想在数学公式中输入正体的文本，简单情况下可用 \mathrm 命令。或者用 \amsmath 提供的 \text 命令。

$x^{2}  \geq 0 \qquad
\text{for \textbf{all} }
x\in \mathbb{R}$

$$\begin{array}{c}{x}^2\ge 0\text{for textbf{all} }x\in \mathbb{R}\end{array}$$

数学符号

$LATEX$​ 默认提供了常用的数学符号，amssymb 宏包提供了一些次常用的符号。大多数常用的数学符号都能在 这里 查到。更多符号可在命令行输入texdoc symbols-a4 查阅 。

一般符号

希腊字母符号的名称就是其英文名称，如 $\alpha$ (\alpha)、$\beta$ (\beta)等等。大写的希腊字母为首字母大写的命令 $\mathrm{\Gamma }$ (\Gamma) $\mathrm{\Delta }$ (\Delta)。无穷大符号为 $\mathrm{\infty }$ (\infty)。

省略号有 $\dots$ (\dots) 和 $\cdots$ (\cdots) 两种形式。它们有各自合适的用途：

$a_1, a_2, \dots, a_n$ \\
$a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

$$\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\dots ,a_n\\ a_1+a_2+\cdots +a_n\end{array}$$

\ldots 和 \dots 是完全等效的，它们既能用在公式中，也用来在文本里作为省略号。
除此之外，在矩阵中可能会用到竖排的 $⋮$ (\votes)和斜排的 $\ddots$ (\ddots)。

指数、上下标和导数

用^ 和 _标明上下标。注意上下标的内容（子公式）一般需要用花括号包裹，否则上下标只对后面的一个符号起作用。

$p^3_{ij} \qquad
m_\mathrm{Knuth}\qquad
\sum_{k=1}^3 k $\\[5pt]
$a^x+y \neq a^{x+y}\qquad
e^{x^2} \neq {e^x}^2$

$$\begin{array}{c}{p}_{ij}^3{m}_{\mathrm{Knuth}}\sum _{k=1}^{3}k\\ a^x+y\ne a^{x+y}{e}^{x^2}\ne {e^x}^2\end{array}$$

导数符号'(${}^{\prime }$)是一类特殊的上标，可连续使用，但只能在其后添加其他上标：

$f(x) = x^2 \quad f'(x) = 2x \quad f''^{2}(x) = 4$

$$f(x)=x^2{f}^{\prime }(x)=2x{f}^{″2}(x)=4$$

分式和根式

分式使用 \frac{分子}{分母} 来书写。分式的大小在行间公式中是正常大小，而在行内被极度压缩。
amsmath 提供了方便的命令 \dfrac 和 \tfrac，令用户能够在行内使用正常大小的分式，或是反过来。

In display style:
\[
3/8 \qquad \frac{3}{8}
\qquad \tfrac{3}{8}
\]
In text style:
$1\frac{1}{2}$~hours \qquad
$1\dfrac{1}{2}$~hours

一般的根式使用 \sqrt{...}；表示 $n$ 次方根时写成 \sqrt[n]{...}。

$\sqrt{x} \Leftrightarrow x^{1/2}
\quad \sqrt[3]{2}
\quad \sqrt{x^{2} + \sqrt{y}}$

$$\sqrt{x}\iff x^{1/2}\sqrt[3]{2}\sqrt{x^2+\sqrt{y}}$$

特殊的分式形式，如二项式结构，由 amsmath 宏包的 \binom 命令生成：

\[
\binom{n}{k} =\binom{n-1}{k}
+ \binom{n-1}{k-1}
\]

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$$

关系符

常见的关系符号除了可以直接输入的 $=$，$>$，$<$，其它符号用命令输入，常用的有 $\ne$ (\ne)、$\ge$ (\ge)、$\le$ (\le)、$\approx$ （\approx）、 等价 $\equiv$ (\equiv)、正比 $\propto$ (\propto)、相似 $\sim$\sim 等等。

$LATEX$ 还提供了自定义二元关系符的命令 \stackrel，用于将一个符号叠加在原有的二元关系符之上：

$f_n(x) \stackrel{*}{\approx} 1$

$$f_n(x)\stackrel{\ast }{\approx }1$$

运算符

$LATEX$ 中的算符大多数是二元算符，除了直接用键盘可以输入的 $+$、$-$、$\ast$、$/$，其它符号用命令输入，常用的有乘号 $\times$ (\times)、 除号 $÷$（\div）、点乘 $\cdot$ (\cdot)、加减号$\pm$ (\pm) / $\mp$ (\mp)等等。

$\mathrm{\nabla }$ (\nabla) 和 $\partial$ (\partial) 也是常用的算符，虽然它们不属于二元算符。

$LATEX$ 将数学函数的名称作为一个算符排版，字体为直立字体。其中有一部分符号在上下位置可以书写一些内容作为条件，
类似于后文所叙述的巨算符。

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$

对于求模表达式，$LATEX$ 提供了 \bmod和 \pmod 命令，前者相当于一个二元运算符，后者作为同余表达式的后缀：

$a\bmod b \\
 x\equiv a \pmod{b}$

$$\begin{array}{c}amodb\\ x\equiv a(\mathrm{mod}b)\end{array}$$

如果上表中的算符不够用的话，amsmath 允许用户在导言区用 \DeclareMathOperator定义自己的算符，其中带星号的命令定义带上下限的算符：

\DeclareMathOperator{\argh}{argh}
\DeclareMathOperator*{\nut}{Nut}

\[\argh 3 = \nut_{x=1} 4x\]

$$\mathrm{argh}3=\underset{x=1}{\mathrm{Nut}}4x$$

巨算符

积分号 $\int$ (\int)、求和号 $\sum$ (\sum) 等符号称为巨算符。巨算符在行内公式和行间公式的大小和形状有区别。行内:$\sum _{i=1}^n{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\oint }_0^{\frac{\pi }{2}}\prod _{ϵ}$ ，行间：

\[\sum_{i=1}^n \quad
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
\oint_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
\prod_\epsilon \]

$$\sum _{i=1}^n{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\oint }_0^{\frac{\pi }{2}}\prod _{ϵ}$$

巨算符的上下标位置可由 \limits 和 \nolimits调整，前者令巨算符类似 $lim$ 或求和算符 $\sum$，上下标位于上下方；后者令巨算符类似积分号，上下标位于右上方和右下方。行内:$\sum _{i=1}^n\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\prod _{ϵ}$ ; 行间:

\[\sum\nolimits_{i=1}^n \quad
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
\prod\nolimits_\epsilon \]

$${\sum }_{i=1}^n\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\prod }_{ϵ}$$

amsmath 宏包还提供了 \substack，能够在下限位置书写多行表达式；$\mathtt{\text{subarray}}$ 环境更进一步，令多行表达式可选择居中 (c) 或左对齐 (l)：

% \usepackage{amssymb}
\[
\sum_{\substack{0\le i\le n \\
  j\in \mathbb{R}}}
P(i,j) = Q(n)
 \\
\sum_{\begin{subarray}{l}
  0\le i\le n \\
  j\in \mathbb{R}
\end{subarray}}
P(i,j) = Q(n)
\]

$$\begin{array}{c}\sum _{\begin{array}{c}0\le i\le n\\ j\in \mathbb{R}\end{array}}P(i,j)=Q(n)\\ \sum _{\begin{array}{l}0\le i\le n\\ j\in \mathbb{R}\end{array}}P(i,j)=Q(n)\end{array}$$

数学重音和上下括号

数学符号可以像文字一样加重音，比如求导符号 $\dot{r}$ （\dot{r}）、 $\ddot{r}$ (\ddot{r})、表示向量的箭头 $\overrightarrow{r}$ (\vec{r}) 、表示单位向量的符号 $\hat{\mathbf{e}}$ (\hat{mathbf{e}})等。使用时要注意重音符号的作用区域，一般应当对某个符号而不是“符号加下标”使用重音：

$\bar{x_0} \quad \bar{x}_0$\\[5pt]
$\vec{x_0} \quad \vec{x}_0$\\[5pt]
$\hat{\mathbf{e}_x} \quad
 \hat{\mathbf{e}}_x$

$$\begin{array}{c}\overline{x_0}{\overline{x}}_0\\ \overrightarrow{x_0}{\overrightarrow{x}}_0\\ \widehat{{\mathbf{e}}_x}{\hat{\mathbf{e}}}_x\end{array}$$

也能为多个字符加重音，包括直接画线的 \overline 和 \underline 命令（可叠加使用）、宽重音符号 \widehat、表示向量的箭头 \overrightarrow 等。

$0.\overline{3} = \underline{\underline{1/3}}$ \\[5pt]
$\hat{XY} \qquad \widehat{XY}$\\[5pt]
$\vec{AB} \qquad \overrightarrow{AB}$

$$\begin{array}{c}0.\bar{3}=\underset{―}{\underset{―}{1/3}}\\ \widehat{XY}\widehat{XY}\\ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AB}\end{array}$$

\overbrace 和 \underbrace 命令用来生成上/下括号，各自可带一个上/下标公式。

$\underbrace{\overbrace{(a+b+c)}^6
\cdot \overbrace{(d+e+f)}^7}
_\text{meaning of life} = 42$

$$\underset{\text{meaning of life}}{\underbrace{\stackrel{6}{\overbrace{(a+b+c)}}\cdot \stackrel{7}{\overbrace{(d+e+f)}}}}=42$$

箭头

常用的箭头包括 \rightarrow($\to$，或 \to)、\leftarrow（$\leftarrow$，或\gets）等。

amsmath 的 xleftarrow 和 xrightarrow 命令提供了长度可以伸展的箭头，并且可以为箭头增加上下标：

\[ a\xleftarrow{x+y+z} b \] \\
\[ c\xrightarrow[x<y]{a*b*c}d \]

$$\begin{array}{c}a\stackrel{x+y+z}{\leftarrow }b\\ c\underset{x<y}{\overset{a\ast b\ast c}{\to }}d\end{array}$$

括号和定界符

$LATEX$ 提供了多种括号和定界符表示公式块的边界，如小括号 $()$、中括号 $[]$、大括号 $\{\}$ (\{ \})、尖括号 $⟨⟩$（\langle \rangle）等。

${a,b,c} \neq \{a,b,c\}$

$$a,b,c\ne \{a,b,c\}$$

使用 \left 和 \right 命令可令括号（定界符）的大小可变，在行间公式中常用。会自动根据括号内的公式大小决定定界符大小。
\left 和 \right 必须成对使用。需要使用单个定界符时，另一个定界符写成 \left. 或\right.。

\[1 + \left(\frac{1}{1-x^{2}}
\right)^3 \qquad
\left.\frac{\partial f}{\partial t}
\right|_{t=0}\]

$$1+{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)}^3{\frac{\partial f}{\partial t}|}_{t=0}$$

有时我们不满意于 $LATEX$ 自动调节的定界符大小。这时还可以用 \big、bigg 等命令生成固定大小的定界符。
更常用的形式是类似 \left 的 \bigl、\biggl 等，以及类似 \right 的 \bigr、\biggr 等（\bigl 和 \bigr 不必成对出现）。

$\Bigl((x+1)(x-1)\Bigr)^{2}$\\
$\bigl( \Bigl( \biggl( \Biggl( \quad
\bigr\} \Bigr\} \biggr\} \Biggr\} \quad
\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\| \quad
\big\Downarrow \Big\Downarrow
\bigg\Downarrow \Bigg\Downarrow$

$$\begin{array}{c}((x+1)(x-1){)}^2\\ ((((\}\}\}\}\Vert \Vert \Vert \Vert \Downarrow \Downarrow \Downarrow \Downarrow \end{array}$$

使用 \big 和 \bigg 等命令的另外一个好处是：用\left 和 \right 分界符包裹的公式块是不允许断行的（下文提到的 $\mathtt{\text{array}}$ 或者 $\mathtt{\text{aligned}}$ 等环境视为一个公式块），所以也不允许在多行公式里跨行使用，而 \big 和 \bigg 等命令不受限制。

多行公式

长公式折行

通常来讲应当避免写出超过一行而需要折行的长公式。如果一定要折行的话，习惯上优先在等号之前折行，其次在加号、减号之前，再次在乘号、除号之前。
其它位置应当避免折行。

amsmath 宏包的 $\mathtt{\text{multline}}$ 环境提供了书写折行长公式的方便环境。它允许用 \\ 折行，将公式编号放在最后一行。多行公式的首行左对齐，末行右对齐，其余行居中。

\begin{multline}
a + b + c + d + e + f
+ g + h + i \\
= j + k + l + m + n\\
= o + p + q + r + s\\
= t + u + v + x + z
\end{multline}

与表格不同的是，公式的最后一行不写 \\，如果写了，反倒会产生一个多余的空行。

类似 $\mathtt{\text{equation*}}$，$\mathtt{\text{multline*}}$ 环境排版不带编号的折行长公式。

多行公式

更多的情况是，需要罗列一系列公式，并令其按照等号对齐。
目前最常用的是 $\mathtt{\text{align}}$ 环境，它将公式用 $\mathtt{\text{\&}}$ 隔为两部分并对齐。分隔符通常放在等号左边：

\begin{align}
a & = b + c \\
& = d + e
\end{align}

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a& =b+c\text{(2)}& & =d+e\end{array}$$

$\mathtt{\text{align}}$ 环境会给每行公式都编号。仍然可以用 \notag 去掉某行的编号。
在以下的例子，为了对齐等号，将分隔符放在右侧，并且此时需要在等号后添加一对括号 $\mathtt{\text{{}}\mathtt{\text{}}}$ 以产生正常的间距：

\begin{align}
a ={} & b + c \\
  ={} & d + e + f + g + h + i + j + k + l \notag \\
            & + m + n + o \\
    ={} & p + q + r + s
\end{align}

$\mathtt{\text{align}}$ 还能够对齐多组公式，除等号前的 $\mathtt{\text{\&}}$ 之外，公式之间也用 $\mathtt{\text{\&}}$ 分隔：

\begin{align}
a &=1  &  b &=2   & c &=3   \\
d &=-1 &  e &=-2  & f &=-5
\end{align}

$$\begin{array}{}\text{(3)}& a& =1& b& =2& c& =3\text{(4)}& d& =-1& e& =-2& f& =-5\end{array}$$

如果不需要按等号对齐，只需罗列数个公式，$\mathtt{\text{gather}}$ 将是一个很好用的环境：

\begin{gather}
a = b + c \\
d = e + f + g \\
h + i = j + k \notag \\
l + m = n
\end{gather}

$$\begin{array}{c}\text{(5)}& a=b+c\text{(6)}& d=e+f+gh+i=j+k\\ \text{(7)}& l+m=n\end{array}$$

有对应的不带编号的版本 $\mathtt{\text{align*}}$和 $\mathtt{\text{gather*}}$。

公用编号的多行公式

另一个常见的需求是将多个公式组在一起公用一个编号，编号位于公式的居中位置。为此，amsmath 宏包提供了诸如 $\mathtt{\text{aligned}}$、$\mathtt{\text{gathered}}$ 等环境，与 $\mathtt{\text{equation}}$ 环境套用。以 $\mathtt{\text{-ed}}$ 结尾的环境用法与前一节不以 $\mathtt{\text{-ed}}$ 结尾的环境用法一一对应。仅以 $\mathtt{\text{aligned}}$ 举例：

\begin{equation}
\begin{aligned}
a &= b + c \\
d &= e + f + g \\
h + i &= j + k \\
l + m &= n
\end{aligned}
\end{equation}

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}a& =b+c\\ d& =e+f+g\\ h+i& =j+k\\ l+m& =n\end{array}\end{array}$$

$\mathtt{\text{split}}$ 环境和 $\mathtt{\text{aligned}}$ 环境用法类似，也用于和 $\mathtt{\text{equation}}$ 环境套用，区别是 $\mathtt{\text{split}}$ 只能将每行的一个公式分两栏，$\mathtt{\text{aligned}}$ 允许每行多个公式多栏。

数组和矩阵

为了排版二维数组，$LATEX$ 提供了 $\mathtt{\text{array}}$ 环境，用法与 $\mathtt{\text{tabular}}$ 环境极为类似，也需要定义列格式，并用 \\ 换行。数组可作为一个公式块，在外套用 \left、\right 等定界符：

\[ \mathbf{X} = \left(
\begin{array}{cccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1n}\\
x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{nn}\\
\end{array} \right) \]

$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \dots & x_{1n}\\ x_{21}& x_{22}& \dots & x_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn}\end{array}\right)$$

值得注意的是，上一节末尾介绍的 $\mathtt{\text{aligned}}$ 等环境也可以用定界符包裹。

还可以利用空的定界符排版出这样的效果：

\[ |x| = \left\{
\begin{array}{rl}
-x & \text{if } x < 0,\\
0 & \text{if } x = 0,\\
x & \text{if } x > 0.
\end{array} \right. \]

$$|x|=\{\begin{array}{rl}-x& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ x& \text{if }x>0.\end{array}$$

不过上述例子可以用 amsmath 提供的 $\mathtt{\text{cases}}$ 环境更轻松地完成：

\[ |x| =
\begin{cases}
-x & \text{if } x < 0,\\
0 & \text{if } x = 0,\\
x & \text{if } x > 0.
\end{cases} \]

$$|x|=\{\begin{array}{ll}-x& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ x& \text{if }x>0.\end{array}$$

amsmath 宏包还直接提供多种排版矩阵的环境，包括不带定界符的 $\mathtt{\text{matrix}}$，以及带各种定界符的矩阵 $\mathtt{\text{pmatrix}}$（$($）、$\mathtt{\text{bmatrix}}$（$[$）、$\mathtt{\text{Bmatrix}}$（$\{$）、$\mathtt{\text{vmatrix}}$（$|$）、$\mathtt{\text{Vmatrix}}$}（$\Vert$）。使用这些环境时，无需给定列格式（事实上这些矩阵内部也是用 $\mathtt{\text{array}}$ 环境生成的。）

\[
\begin{matrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{matrix} \qquad
\begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1n}\\
x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{nn}\\
\end{bmatrix}
\]

$$\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \dots & x_{1n}\\ x_{21}& x_{22}& \dots & x_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn}\end{array}\right]$$

在矩阵中的元素里排版分式时，要用到\dfrac 等命令：

\[
\mathbf{H}=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} &
\dfrac{\partial^2 f}
      {\partial x \partial y} \\[8pt]
\dfrac{\partial^2 f}
      {\partial x \partial y} &
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
\]

$$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}\\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}\end{array}\right]$$

公式中的间距

绝大部分时候，数学公式中各元素的间距是根据符号类型自动生成的，需要手动调整的情况极少。已经认识了两个生成间距的命令 \quad 和 \qquad。在公式中可能用到的间距还包括\,、\:、\; 以及负间距 \!。文本中的 \␣ 也能使用在数学公式中。

一个常见的用途是修正积分的被积函数 $f(x)$ 和微元 $\mathrm{d}x$ 之间的距离。注意微元里的 $\mathrm{d}$ 用的是直立体：

\[
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x
\qquad
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
\]

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

另一个用途是生成多重积分号。如果直接连写两个 \int，之间的间距将会过宽，此时可以使用负间距 \! 修正之。不过 amsmath 提供了更方便的多重积分号，如二重积分 \iint、三重积分\iiint 等。

\newcommand\diff{\,\mathrm{d}}
\begin{gather*}
\int\int f(x)g(y) \diff x \diff y \\
\int\!\!\!\int f(x)g(y) \diff x \diff y \\
\iint f(x)g(y) \diff x \diff y \\
\iint\quad \iiint\quad \idotsint
\end{gather*}

$$\begin{array}{c}\int \int f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \int \int f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \iint f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \iint \iiint \int \cdots \int \end{array}$$

数学符号的字体控制

数学字母字体

$LATEX$ 允许一部分数学符号切换字体，主要是拉丁字母、数字、大写希腊字母以及重音符号等。下表给出了切换字体的命令。某些命令需要字体宏包支持。

% \usepackage{amssymb}
$\mathcal{R} \quad \mathfrak{R} \quad \mathbb{R}$
\[\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\]
$\mathfrak{su}(2)$ and $\mathfrak{so}(3)$ Lie algebra

$$\begin{array}{c}\mathcal{R}\mathfrak{R}\mathbb{R}\\ \mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }\\ \mathfrak{su}(2)and\mathfrak{so}(3)Liealgebra\end{array}$$

一般来说，不同的数学字体往往带有不同的语义，如矩阵、向量等常会使用粗体或粗斜体，而数集常会使用 \mathbb 表示。出于内容与格式分离以及方便书写的考虑，可以为它们定义新的命令。

加粗的数学符号

上表中的 \mathbf 命令只能获得直立、加粗的字母。如果想得到粗斜体（国内使用粗斜体符号表示矢量，见 GB/T 3102.11---1993）。可以使用 amsmath 宏包提供的 \boldsymbol 命令：

$\mu, M \qquad \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}$

$$\mu ,M\mathit{\mu },\mathit{M}$$

也可以使用 bm 宏包提供的 \bm 命令：

% \usepackage{bm}
$\mu, M \qquad \bm{\mu}, \bm{M}$

在 $LATEX$ 默认的数学字体中，一些符号本身并没有粗体版本，使用 \boldsymbol 也得不到粗体。此时 \bm 命令会生成“伪粗体”，尽管效果比较粗糙，但在某些时候也不失为一种解决方案。

数学符号的尺寸

数学符号按照符号排版的位置规定尺寸，从大到小包括行间公式尺寸、行内公式尺寸、上下标尺寸、次级上下标尺寸。除了字号有别之外，行间和行内公式尺寸下的巨算符也使用不一样的大小。\LaTeX{} 为每个数学尺寸指定了一个切换的命令，见 下表。

命令	尺寸	示例
\displaystyle	行间公式尺寸	${\displaystyle \sum a}$
\textstyle	行内公式尺寸	$\sum a$
\scriptstyle	上下标尺寸	$a$
\scriptscriptstyle	次级上下标尺寸	$a$

通过以下示例对比行间公式和行内公式的区别。在分式中，分子分母默认为行内公式尺寸，示例中将分母切换到行间公式尺寸：

\[
r = \frac
  {\sum_{i=1}^n (x_i- x)(y_i- y)}
  {\displaystyle \left[
    \sum_{i=1}^n (x_i-x)^2
    \sum_{i=1}^n (y_i-y)^2
  \right]^{1/2} }
\]

$$r=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-x)(y_i-y)}{{\displaystyle {[\sum _{i=1}^n(x_i-x{)}^2\sum _{i=1}^n(y_i-y{)}^2]}^{1/2}}}$$

定理环境

$LATEX$ 原始的定理环境

使用 $LATEX$ 排版数学和其他科技文档时，会接触到大量的定理、证明等内容。$LATEX$ 提供了一个基本的命令 \newtheorem 提供定理环境的定义：

\newtheorem{theorem environment}{title}[section-level] \\
\newtheorem{theorem environment}[counter]{title}

$\text{theorem environment}$ 为定理环境的名称。原始的 $LATEX$ 里没有现成的定理环境，不加定义而直接使用很可能会出错。$\text{title}$ 是定理环境的标题（“定理”，“公理”等）。

定理的序号由两个可选参数之一决定，它们不能同时使用：

• $\text{section-level}$ 为章节级别，如 $\mathtt{\text{chapter}}$、$\mathtt{\text{section}}$ 等，定理序号成为章节的下一级序号；
• $\text{counter}$ 为用 \newcounter 自定义的计数器名称，定理序号由这个计数器管理。

如果两个可选参数都不用的话，则使用默认的与定理环境同名的计数器。

在以下示例代码中，定义了一个 $\mathtt{\text{mythm}}$ 环境，其序号设为 $\mathtt{\text{section}}$ 的下一级序号。注意 $\mathtt{\text{mythm}}$ 环境的可选参数以及 \label 的用法：

\newtheorem{mythm}{My Theorem}[section]
\begin{mythm}\label{thm:light}
The light speed in vacuum
is $299,792,458\,\mathrm{m/s}$.
\end{mythm}
\begin{mythm}[Energy-momentum relation]
The relationship of energy,
momentum and mass is
\[E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2\]
where $c$ is the light speed
described in theorem \ref{thm:light}.
\end{mythm}

amsthm 宏包

$LATEX$ 默认的定理环境格式为粗体标签、斜体内容、定理名用小括号包裹。如果需要修改格式，则要依赖其它的宏包，如 amsthm、ntheorem 等等。本小节简单介绍一下 amsthm 的用法。

amsthm 提供了 \theoremstyle 命令支持定理格式的切换，在用 \newtheorem 命令定义定理环境之前使用。amsthm 预定义了三种格式用于\theoremstyle：$\mathtt{\text{plain}}$ 和 $LATEX$ 原始的格式一致；$\mathtt{\text{definition}}$ 使用粗体标签、正体内容；$\mathtt{\text{remark}}$ 使用斜体标签、正体内容。

另外 amsthm 还支持用带星号的 \newtheorem* 定义不带序号的定理环境：

\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Law}
\theoremstyle{plain} \newtheorem{jury}[law]{Jury}
\theoremstyle{remark} \newtheorem*{mar}{Margaret}

以上例子定义的 $\mathtt{\text{jury}}$ 环境与 $\mathtt{\text{law}}$ 环境共用编号，$\mathtt{\text{mar}}$ 环境不编号：

\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Law}
\theoremstyle{plain} \newtheorem{jury}[law]{Jury}
\theoremstyle{remark} \newtheorem*{mar}{Margaret}
\begin{law}\label{law:box}
Don't hide in the witness box.
\end{law}
\begin{jury}[The Twelve]
It could be you! So beware and
see law~\ref{law:box}.\end{jury}
\begin{jury}
You will disregard the last
statement.\end{jury}
\begin{mar}No, No, No\end{mar}
\begin{mar}Denis!\end{mar}

amsthm 还支持使用 \newtheoremstyle 命令自定义定理格式，更为方便使用的是 ntheorem 宏包。感兴趣的读者可参阅它们的帮助文档。

证明环境和证毕符号

amsthm 还提供了一个 $\mathtt{\text{proof}}$ 环境用于排版定理的证明过程。环境末尾自动加上一个 □ 证毕符号：

\begin{proof}
For simplicity, we use
\[
E=mc^2
\]
That's it.
\end{proof}

如果行末是一个不带编号的公式，□ 符号会另起一行，这时可使用 \qedhere 命令将 □ 符号放在公式末尾：

\qedhere 对于 $\mathtt{\text{align*}}$ 等环境也有效：

\begin{proof}
Assuming $\gamma
= 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, then
\begin{align*}
E &= \gamma m_0 c^2  \\
p &= \gamma m_0v \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

在使用带编号的公式时，最好不要在公式末尾使用 \qedhere 命令。对带编号的公式使用\qedhere 命令会使 □ 符号放在一个难看的位置，紧贴着公式：

在 $\mathtt{\text{align}}$ 等环境中使用 \qedhere 命令会使 □ 盖掉公式的编号；使用 $\mathtt{\text{equation}}$ 嵌套 $\mathtt{\text{aligned}}$ 等环境时，\qedhere 命令会将 □ 直接放在公式后。这些位置都不太正常。

证毕符号 □ 本身被定义在命令 \qedsymbol 中，如果有使用实心符号作为证毕符号的需求，需要自行用 \renewcommand}命令修改。可以利用标尺盒子来生成一个适当大小的“实心矩形”：

\renewcommand{\qedsymbol}%
  {\rule{1ex}{1.5ex}}
\begin{proof}
For simplicity, we use
\[
E=mc^2 \qedhere
\]
\end{proof}

符号表

在这里。

参考文献

[1] Partl H, Hyna I, Schlegl E. 一份 (不太) 简短的 LATEX2ε 介绍[J]. 2024. https://github.com/CTeX-org/lshort-zh-cn