CF385E Bear in the Field 题解（矩阵快速幂）

好久没有写矩阵了，写挂了好几次QAQ。几乎所有的坑都跳了一遍……

题目大意：给定一个$n \times n$的矩阵，坐标为$(x,y)$的格子的权值为$x+y$。一个人初始在$(sx,sy)$处，初始速度为$(dx,dy)$，他下一秒能到达的地方为$((x+dx-1)\mod n+1,(y+dy-1)\mod n+1)$。当人到达一个地方$(x,y)$时，他的速度将会变为$(dx+x+y,dy+x+y)$。每秒钟所有格子内的权值都会加$1$。问$t$秒后人所在的位置。

正解：矩阵快速幂。

设$sx(i)$表示第$i$秒时人所在格子的横坐标，$sy(i)$表示所在格子的纵坐标；$dx(i)$表示第$i$秒时人的横向速度，$dy(i)$表示第$i$秒时的纵向速度。根据题意有：
$dx(t)=dx(t-1)+sx(t-1)+sy(t-1)+t-1$

$dy(t)=dy(t-1)+sx(t-1)+sy(t-1)+t-1$

（别忘了每秒钟格子的权值会加$1$）

同时根据题意有：

$sx(t)=sx(t-1)+dx(t)$

$sy(t)=sy(t-1)+dy(t)$

考虑取余操作，这使得$\mod n$后的值只可能在$[0,n-1]$中。所以我们不妨平移人，将人的位置分别往上，往左移动一格。这样坐标就变为了$(sx-1,sy-1)$。但这样会导致速度比原来的速度少$2$，所以要在原来的式子中加上$2$。这样我们有：

$dx(t)=dx(t-1)+sx(t-1)+sy(t-1)+t-1+2$

$dy(t)=dy(t-1)+sx(t-1)+sy(t-1)+t-1+2$

将$dx(t),dy(t)$代入$sx(t),sy(t)$中，得到：

$sx(t)=2\times sx(t-1)+dx(t-1)+sy(t-1)+t+1$

$sy(t)=2\times sy(t-1)+dy(t-1)+sx(t-1)+t+1$

考虑构造转移矩阵，我们有：

$\begin{bmatrix} sx(t-1) \\ sy(t-1)\\dx(t-1)\\dy(t-1)\\t-1\\1 \end{bmatrix}$ $\times$ $\begin{bmatrix} 2&1&1&0&1&2 \\ 1&2&0&1&1&2\\1&1&1&0&1&2\\1&1&0&1&1&2\\0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} sx(t) \\ sy(t)\\dx(t)\\dy(t)\\t\\1 \end{bmatrix}$

矩阵快速幂处理即可。时间复杂度$O(216\log_2t)$。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
int n,sx,sy,dx,dy,t,y[10],p;
struct node
{
    int a[10][10];
    node(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    inline void build(){
        for (int i=1;i<=6;i++) a[i][i]=1;
    }
}x;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void init()
{
    x.a[1][1]=2;x.a[1][2]=1;x.a[1][3]=1;x.a[1][4]=0;x.a[1][5]=1;x.a[1][6]=2;
    x.a[2][1]=1;x.a[2][2]=2;x.a[2][3]=0;x.a[2][4]=1;x.a[2][5]=1;x.a[2][6]=2;
    x.a[3][1]=1;x.a[3][2]=1;x.a[3][3]=1;x.a[3][4]=0;x.a[3][5]=1;x.a[3][6]=2;
    x.a[4][1]=1;x.a[4][2]=1;x.a[4][3]=0;x.a[4][4]=1;x.a[4][5]=1;x.a[4][6]=2;
    x.a[5][1]=0;x.a[5][2]=0;x.a[5][3]=0;x.a[5][4]=0;x.a[5][5]=1;x.a[5][6]=1;
    x.a[6][1]=0;x.a[6][2]=0;x.a[6][3]=0;x.a[6][4]=0;x.a[6][5]=0;x.a[6][6]=1;
    y[1]=sx-1;y[2]=sy-1;y[3]=dx;y[4]=dy;y[5]=0;y[6]=1;
}
node operator * (const node x,const node y)
{
    node z;
    for (int i=1;i<=6;i++)
        for (int j=1;j<=6;j++)
            for (int k=1;k<=6;k++)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%p+p)%p;
    return z;
}
signed main()
{
    //freopen("data.in","r",stdin);
    //freopen("ans.out","w",stdout); 
    n=read(),sx=read(),sy=read(),dx=read(),dy=read(),t=read();p=n;
    if (t==0)
    {
        printf("%lld %lld",sx,sy);
        return 0;
    }
    init();
    node ans;ans.build(); 
    while(t)
    {
        if (t&1) ans=ans*x;
        x=x*x;
        t>>=1;
    }
    int tx=0,ty=0;
    for(int i=1;i<=6;i++)
        tx=(tx+y[i]*ans.a[1][i]%p+p)%p,
        ty=(ty+y[i]*ans.a[2][i]%p+p)%p;
    printf("%lld %lld",tx+1,ty+1);
    return 0;
}