【CF708C】Centroids 题解（树形DP）

做到了一个没见过的idea的题，幸甚至哉，歌以咏志。

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题目大意：给定一颗树，你有一次将树改造的机会，改造的意思是删去一条边，再加入一条边，保证改造后还是一棵树。请问有多少点可以通过改造，成为这颗树的重心？

首先有一个显然的事实：如果一个点是原本树的中心，那么不用管它；如果这个点经过改造后可以成为树的重心，那么必然有且只有一个子树的大小大于$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$。而我们改造这个点的方法是：找这个重儿子最大的小于等于$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$的子树，并将它插到这个点上。

所以我们要DP来求上述这个子树的大小。设$f_i$表示最大的小于等于$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$的子树的大小。有转移：

$f_u=\max(size_v) \ (size_v < \lfloor \frac{n}{2} \rfloor)$

$f_u=\max(f_v)\ (size_v > \lfloor \frac{n}{2} \rfloor)$

同时我们设$g_u$表示$f_u$所指的$u$。上述的操作都可以$O(n)$解决。这样我们就解决了子树内的情况。

对于子树外的点，我们设$h_i$表示不在子树中的最大取值。有转移：

$h_v=\max(n-size_u) \ (n-size_u < \lfloor \frac{n}{2} \rfloor)$

$h_v=\max(h_u) \ (n-size_u > \lfloor \frac{n}{2} \rfloor)$

如果$f_u$的最佳转移点是$v$，那么$h_v$与$f_u$的次大值取$\max$；反则与最大值取$\max$。

最后判断是否合法：如果重儿子大小大于$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，那么就看重儿子大小减去$f_{son_u}$是否小于等于$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$；若$n-size_u > \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，那么看$n-size_u$与$h_u$的差值是否小于等于$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$。

时间复杂度$O(n)$。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=400005;
int f[maxn][2],g[maxn],h[maxn],son[maxn],size[maxn],ans[maxn],n;
int head[maxn],cnt;
struct node
{
    int next,to;
}edge[maxn*2];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
    edge[++cnt].next=head[from];
    edge[cnt].to=to;
    head[from]=cnt;
}
inline void dfs_pre(int now,int fa)
{
    size[now]=1;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (to==fa) continue;
        dfs_pre(to,now);
        size[now]+=size[to];
        if (size[to]>size[son[now]]) son[now]=to;
        int cur=(size[to]<=n/2)?size[to]:f[to][0];
        if (cur>f[now][0])
        {
            f[now][1]=f[now][0];
            f[now][0]=cur;
            g[now]=to;
        }
        else if (cur>f[now][1]) f[now][1]=cur;
    }
}
inline void dfs_dp(int now,int fa)
{
    ans[now]=1;
    if (size[son[now]]>n/2)
        ans[now]=size[son[now]]-f[son[now]][0]<=n/2;
    else if (n-size[now]>n/2)
        ans[now]=n-size[now]-h[now]<=n/2;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (to==fa) continue;
        int cur = n-size[now] <= n/2 ? n-size[now] : h[now];
        h[to]=max(h[to],cur);
        h[to]=max(h[to],f[now][g[now]==to]);
        dfs_dp(to,now);
    }
}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs_pre(1,0);
    dfs_dp(1,0);
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}