【BZOJ4398】福慧双修 题解（建图优化）

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题目大意：给定一张$n$个点$m$条边的无向图，每条边两个方向的权值不一定相同。问从$1$出发不重复走一条边回到$1$的最短路径。

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暴力不太会。大概是$dfs$？复杂度不得上天……

正解：对于那些端点不是$1$的边，因为要走最短路，所以这些边只会走一次，所以对答案是没有影响的。考虑端点为$1$的边，我们进行“二进制分组”。每次按照二进制分为两组：入边和出边，然后跑最短路。路径长为$dis[edge[i].to]$加上入边权值。这样做能把所有情况包括进去，符合最优性质。

时间复杂度$O(n\log^2 n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,vis[40005],dis[40005],tag[200005],ans=0x3f3f3f3f;
int head[200005],cnt=-1;
struct edge
{
    int next,to,dis;
}edge[200005];
struct node
{
    int dis,pos;
    bool operator < (const node &x) const
    {
        return x.dis<dis;
    }
};
priority_queue<node> q;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to,int dis)
{
    edge[++cnt].next=head[from];
    edge[cnt].to=to;
    edge[cnt].dis=dis;
    head[from]=cnt;
} 
inline void dijkstra()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0x3f3f3f3f;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[1]=0;q.push((node){0,1});
    while(!q.empty())
    {
        node tmp=q.top();q.pop();
        int now=tmp.pos;
        if (vis[now]) continue;
        vis[now]=1;
        for (int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            if (tag[i]==-1) continue;
            int to=edge[i].to;
            if (dis[to]>dis[now]+edge[i].dis)
            {
                dis[to]=dis[now]+edge[i].dis;
                if (!vis[to]) q.push((node){dis[to],to});
            }
        }
    }
    for (int i=head[1];i!=-1;i=edge[i].next)
        if (tag[i]==-1&&ans>dis[edge[i].to]+edge[i^1].dis)
            ans=dis[edge[i].to]+edge[i^1].dis;
}
signed main()
{
    n=read(),m=read();
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w1=read(),w2=read();
        add(u,v,w1);add(v,u,w2);
    }
    for (int d=18;d>=0;d--)
    {
        for (int i=head[1];i!=-1;i=edge[i].next)
            if((i>>d)&1) tag[i]=0,tag[i^1]=-1;
            else tag[i]=-1,tag[i^1]=0;
        dijkstra();
        for (int i=head[1];i!=-1;i=edge[i].next)
            if ((i>>d)&1) tag[i]=-1,tag[i^1]=0;
            else tag[i]=0,tag[i^1]=-1;
        dijkstra();
    }
    printf("%lld",(ans==0x3f3f3f3f)?-1:ans);
    return 0;
}