【BZOJ4173】数学 题解（数论）

前言：体验到了推式子的快感orz

题目大意：求$\varphi(n)*\varphi(m)*\sum_{n\ mod\ k+m\ mod\ k\geq k} \varphi(k)\ mod\ 998244353$

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设$n=q_1k+r_1,m=q_2k+r_2$，那么$q_1=\lfloor \frac{n}{k} \rfloor,q_2=\lfloor \frac{m}{k} \rfloor$。

$n+m=(q_1+q_2)k+r_1+r_2$

$(n+m)-(q_1+q_2)k=r_1+r_2$

$\lfloor \frac{n+m}{k} \rfloor-\lfloor \frac{n}{k} \rfloor-\lfloor \frac{m}{k} \rfloor=r_1+r_2=1$

所以现在变为：找到满足上式的$k$。

我们先给出一个式子：

$ans=\sum\limits_{i=1}^{n+m}\varphi(k)*\lfloor \frac{n+m}{k} \rfloor-\sum\limits_{i=1}^n \varphi(k)*\lfloor \frac{n}{k} \rfloor-\sum\limits_{i=1}^m \varphi(k)*\lfloor \frac{m}{k} \rfloor$

这个式子是什么意思？

对于$(\lfloor \frac{n+m}{k} \rfloor-\lfloor \frac{n}{k} \rfloor-\lfloor \frac{m}{k} \rfloor)*\varphi(k)$：

如果$k$满足条件，那么系数为$1$，对答案有贡献。如果$k$不合法那么系数为$0$，对答案是没有贡献的。所以上面给出的式子可以计算所有合法的答案。

现在我们尝试对$\sum\limits_{i=1}^n \varphi(k)*\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$进行化简。

有这样一个关系：$\sum\limits_{i=1}^n i=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k|i}\varphi(k)=\sum\limits_{i=1}^n \varphi(k)*\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$

证明：$\sum\limits_{i=1}^n i=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k|i}\varphi(k)$

对于一个数$i$，在小于等于它的数中有这样的关系：

1.最大公约数为$1$，记为$G_1$，个数显然是$\varphi(i)$

2.最大公约数为$2$，记为$G_2$,个数是$\varphi(i/2)$

$\cdots$

i.最大公约数为$i$，记为$G_i$，个数为$1$。

这些集合的并集大小为$i$，所以上述等式成立。

现在来看$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k|i}\varphi(k)=\sum\limits_{i=1}^n \varphi(k)*\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$

对于左式，其意义为考虑每个$i$对答案的贡献；而对于右式，其意义为考虑每个合法的$k$对答案的贡献。二者对于答案的总贡献是相同的，所以等式成立。

经过化简，最终答案为$\varphi(n)*\varphi(m)*n*m$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int  long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m,ans;
inline int phi(int x)
{
    int res=x,m=x;
    for (int i=2;i*i<=m;i++)
    {
        if (x%i) continue;
        res=res/i*(i-1);
        while(!(x%i)) x/=i;
    }
    if (x>1) res=res/x*(x-1);
    return res%mod;
}
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    ans=((n%mod)*(m%mod))%mod;
    ans*=phi(n),ans%=mod;
    ans*=phi(m),ans%=mod;
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}