【CSP2019】括号树 题解（递推+链表）

前言：抽时间做了做这道题，把学长送退役的题。

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题目链接

题目大意：定义$()$是合法括号串。如果$A,B$是合法括号串，那么$(AB),AB$为合法括号串。现给定根节点为$1$的一棵树，每个节点有一个括号。定义$s_i$是从根节点到$i$结点的括号串，$k_i$是$s_i$的合法子串，求$1*k_1 \ xor \ 2*k_2 \ xor \cdots \ n*k_n$。

这道题其实实现起来并不难，重要的是思维。我也是想了快一个小时才推出来式子QAQ。

可以发现，合法的括号串模型，无非就三种：

1.$combo$式：$()()()\cdots ()$

2.套娃式：$(((((\cdots )))))$

3.混合式：$((()()\cdots ()()))$

 很明显，对于$combo$式，如果末尾再添加一个合法括号串，那么对答案肯定又有很多贡献。我们先来简单推一推式子：

假设先前有$n-1$个连续的合法括号串，现在在末尾添加了一个。

先前的答案：$(n-1)+\frac{(n-1)*(n-2)}{2}=\frac{n*(n-1)}{2}$

现在的答案：$n+\frac{n*(n-1)}{2}=\frac{n*(n+1)}{2}$

答案增加了$n$。

这对我们来说是个好消息，因为我们只要记录一下先前连续的合法括号串有多少个，就可以$O(1)$求出现在的答案。

答案是不是开始浮出水面了？

对于套娃和混合式，我们把它当作一个合法括号串，它们里面的答案由先前的递推来解决。

设$sum[i]$表示考虑前$i$个括号其合法的子串数量，$c[i]$表示截止到$i$为止连续的合法括号串数量。如果遇到$($，我们就让它入栈，遇到$)$就统计答案，有递推式：

$sum[now]=sum[fa[now]]+c[fa[st[tot]]]+1,c[now]=c[fa[st[tot]]]+1,tot--$

这样写对于序列没有任何问题，但是遇到树形结构就萎了：树是递归遍历的，用栈来维护可能会改变先前的括号顺序。所以我们要用链表来维护左括号序列。

剩下的就没有什么难的了。注意一些小细节：开long long，注意链表已经是否到头，等等。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=500005;
int fa[maxn],last[maxn*4],c[maxn],sum[maxn],head[maxn],n,tot,cnt,ans;
char ch[maxn];
struct node
{
    int next,to;
}edge[maxn];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
    edge[++cnt].next=head[from];
    edge[cnt].to=to;
    head[from]=cnt;
}
inline void dfs(int now)
{
    sum[now]=sum[fa[now]];
    if (ch[now]==')'){
        if (last[now]) c[now]=c[last[now]]+1,sum[now]+=c[now];
        last[now]=last[last[now]];
    }
    ans^=now*sum[now];
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (ch[now]=='(') last[to]=now;
        else last[to]=last[now];
        if (ch[now]==')'&&ch[to]=='(') c[to]=c[now];
        dfs(to);
    }
}
signed main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%c",&ch[i]);
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        int x=read();
        fa[i]=x;add(x,i);
    }
    dfs(1);
    cout<<ans;
    return 0;
}