BSGS 学习笔记

问题：求$a^x\equiv b\ (mod\ p)$的最小正整数解。

这时候就要用到BSGS（拔山盖世）算法。直接进入正题：

设$x=im-n$，

则原式等于$a^{im-n}\equiv b\ (mod\ p)$。

移项，得$a^{im}\equiv a^nb(mod\ p)$。

我们把所有$a^nb$的状态存到一个map里，然后枚举$a^{im}$，如果相等则找到最小正整数解。

当$m=\sqrt p$时，算法效率最高。则$[1,m]$枚举$n$,$[1,m]$枚举$i$。

以上说的情况是$a$与$p$互质的情况。那么不互质该怎么做呢？

我们变换一下形式：$a*a^{x-1}\equiv b\ (mod\ p)$。

移项，得$a*a^{x-1}+y*p=b$。

设$g=gcd(a,p)$，由裴蜀定理得，如果$b\ mod\ p≠0$，那么此同余方程无解。

左右两边同除$g$，得到$\frac{a}{g}*a^{x-1}+y*\frac{p}{g}=\frac{b}{g}$，即$a^{x-1}\equiv \frac{b}{g}*(\frac{a}{g})^{-1}\ (mod\ \frac{p}{g})$

重复上述步骤，直到$gcd(a,p)=1$为止，然后就可以用普通的BSGS求啦。

注意要特判一下，如果$b=1$或$p=1$或者某一时刻$(\frac{a}{g})^x=b'$，那么直接返回$0$即可。

注意各种情况下的模数！！！被这个坑了好久QAQ。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
map<int,int> vis;
int a,p,b;
inline int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b); 
}
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (!b) x=1,y=0;
    else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    }
}
inline int inv(int a,int b)
{
    int x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    return (x%b+b)%b;
}
inline int qcal(int a,int b,int p)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if (b&1) res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline int bsgs(int a,int b,int p)
{
    vis.clear();
    b%=p;
    int m=ceil(sqrt(p));
    for (int i=1;i<=m;i++) b=b*a%p,vis[b]=i;
    b=1;int tmp=qcal(a,m,p);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        b=b*tmp%p;
        if (vis[b]) return (i*m-vis[b]+p)%p;
    }
    return -1;
}
inline int exbsgs(int a,int b,int p)
{
    if (b==1||p==1) return 0;
    int g=gcd(a,p),k=0,na=1;
    while(g>1)
    {
        if (b%g!=0) return -1;
        b/=g;p/=g;na=na*(a/g)%p;
        k++;
        if (na==b) return k;
        g=gcd(a,p);
    }
    int f=bsgs(a,b*inv(na,p)%p,p);
    if (f==-1) return -1;
    return f+k;
}
signed main()
{
    cin>>a>>p>>b;
    while(a||p||b)
    {
        a%=p;b%=p;
        int t=exbsgs(a,b,p);
        if (t==-1) puts("No Solution");
        else printf("%lld\n",t);
        cin>>a>>p>>b;
    }
    return 0;
}