【HEOI2015】公约数数列 题解（分块）

前言：毒瘤数据结构题，半个下午都在搞它了……

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题目链接

题目大意：给定一个长度为$n$的序列，有两种操作：1.把$a_x$的值改成$y$。2.求一个最小的$p$使得$gcd(a_0,a_1,\cdots ,a_p)*XOR(a_0,a_1,\cdots ,a_p)=x$。

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这种数据结构题一般只能用分块解决。线段树什么的不得T飞……

对于每个块，我们维护块内的$gcd$和$xor$和，还要记录以每个块的左端点为左端点的$xor$前缀和。

修改的时候直接$\sqrt n$暴力把所属块内的信息重新修改。

重点是查询。我们维护一个$pregcd$和$prexo$表示已经询问过的部分的$gcd$和$xor$和。有两种情况：

　　1.如果$gcd(pregcd,gcd[i])=pregcd$，那么二分查找块内可能符合条件的$p$。可以参考代码来理解。

　　2.如果不相等，那么暴力查找块内可能的$p$。

有一个性质：$A xor B=C$，那么$C xor B=A$。可以利用这个性质进行查询。

时间复杂度$O(n\sqrt n \log n)$。

代码：

/*记录每个块内的gcd，xor和；记录以每个块左端点为左端点的前缀xor和*/
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int gcd[100005],sumxo[100005],n,m,a[100005],block,tot,pregcd,prexo;
struct node{int sum,id;}xo[100005];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline int GCD(int x,int y){if (!y) return x;return GCD(y,x%y);}
bool cmp(node x,node y){if(x.sum==y.sum) return x.id<y.id;return x.sum<y.sum;}
inline void build(int i)
{
    gcd[(i-1)*block+1]=sumxo[(i-1)*block+1]=a[(i-1)*block+1];
    xo[(i-1)*block+1]=(node){sumxo[(i-1)*block+1],(i-1)*block+1};
    for (int j=(i-1)*block+2;j<=min(n,i*block);j++)
    {
        gcd[j]=GCD(gcd[j-1],a[j]);
        sumxo[j]=sumxo[j-1]^a[j];
        xo[j]=(node){sumxo[j],j};
    }
    sort(xo+(i-1)*block+1,xo+min(n,i*block)+1,cmp);
}
inline int half(int l,int r,int x)
{
    int mid,res=l;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if (xo[mid].sum>=x) res=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;    
    } 
    return res;
}
inline int query(int x)
{
    int ans=-1;
    pregcd=a[1],prexo=0;
    for (int i=1;i<=tot&&ans==-1;i++)
    {
        if (GCD(pregcd,gcd[min(n,i*block)])==pregcd)
        {
            if (x%pregcd==0)
            {
                int k=(x/pregcd)^prexo;
                int pos=half((i-1)*block+1,min(n,i*block),k);
                if(xo[pos].sum==k)
                {
                    ans=xo[pos].id;
                    break;
                }
            }
            pregcd=GCD(pregcd,gcd[min(n,i*block)]),prexo^=sumxo[min(n,i*block)];
        }
        else
        {
            for (int j=(i-1)*block+1;j<=min(n,i*block);j++)
            {
                pregcd=GCD(pregcd,a[j]);prexo^=a[j];
                if (pregcd*prexo==x){
                    ans=j;
                    break;
                }
            }
            if (ans!=-1) break;
        }
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    n=read();block=sqrt(n);
    tot=n/block;if (n%block) tot++;
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for (int i=1;i<=tot;i++) build(i);
    m=read();
    while(m--)
    {
        string s;cin>>s;
        if (s[0]=='M')
        {
            int x=read(),y=read();x++;
            a[x]=y;
            build((x-1)/block+1);
        }
        else
        {
            int x=read();
            int s=query(x);
            if (s==-1) printf("no\n");
            else printf("%lld\n",s-1);
        }
    }
    return 0;
}