【CF115E】Linear Kingdom Races 题解（线段树优化DP）

前言：前辈讲课时设的状态还是有些繁琐，感觉题解设的状态更简洁。

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题目链接

题目大意：给定$n$条道路和$m$场比赛，每个道路修建需要$c_i$，每场比赛需要使用$[l_i,r_i]$内的道路，收益为$p_i$。问最大收益。$n,m\leq 200000$

先将所有的区间右端点从小到大排序。

设$f[i][j]$表示已经考虑前$i$条道路，最右边没有修的道路是$j$。现在考虑转移。

如果不修第$i$条道路，那么最右边的没有修的道路就变成$i$了。有这样的方程$f[i][i]=max(f[i][i],f[i-1][j]) (0\leq j\leq i-1)$

如果修第$i$条道路，那么以$i$为右端点的比赛都能获得收益。有$f[i][j]=f[i-1][j]+p(0\leq j\leq l_i-1)$。但是不要忘记修路的费用，即$f[i][j]=f[i-1][j]-cost[i](0\leq j\leq i-1)$。

这样的转移是$O(n^2)$的，还不够优秀。注意到只需要维护区间最大值和序列和，我们可以用线段树来维护，只用维护懒标记，区间加和区间最大值这三个操作即可。

至于以右端点进行关键字排序，可以开一个$vector$数组来存左端点和值。

时间复杂度$O(n\log n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
struct Node
{
    int first,second;
};
vector<Node> a[200005];
struct node
{
    int lazy,a,max;
}tree[1000005];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void pushdown(int index)
{
    tree[index*2].lazy+=tree[index].lazy;
    tree[index*2+1].lazy+=tree[index].lazy;
    tree[index*2].max+=tree[index].lazy;
    tree[index*2+1].max+=tree[index].lazy;
    tree[index].lazy=0;
}
inline void update(int index,int l,int r,int ql,int qr,int x)
{
    if (ql<=l&&r<=qr) {tree[index].lazy+=x;tree[index].max+=x;return;}
    if (tree[index].lazy) pushdown(index);
    int mid=(l+r)/2;
    if (ql<=mid) update(index*2,l,mid,ql,qr,x);
    if (qr>mid) update(index*2+1,mid+1,r,ql,qr,x);
    tree[index].max=max(tree[index*2].max,tree[index*2+1].max);
}
inline int query(int index,int l,int r,int ql,int qr)
{
    if (ql<=l&&r<=qr) return tree[index].max;
    if (tree[index].lazy) pushdown(index);
    int mid=(l+r)/2,res=0;
    if (ql<=mid) res=max(res,query(index*2,l,mid,ql,qr));
    if (qr>mid) res=max(res,query(index*2+1,mid+1,r,ql,qr));
    return res; 
}
signed main()
{
    n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) tree[i].a=read();
    for (int i=1;i<=m;i++) 
    {
        int l=read(),r=read(),x=read();
        a[r].push_back((Node){l,x});
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        //f[i][i]=max(f[i][i],f[i-1][j])
        update(1,0,n,i,i,query(1,0,n,0,i-1));
        //f[i][j]=f[i-1][j]+p-cost;
        for (int j=0;j<a[i].size();j++) update(1,0,n,0,a[i][j].first-1,a[i][j].second);
        update(1,0,n,0,i-1,-tree[i].a);
    }
    printf("%lld",tree[1].max);
    return 0;
}