7月13日考试 题解（DFS序+期望+线段树优化建图）
T1 sign
题目大意：给出一棵 N 个节点的树，求所有起点为叶节点的有向路径，其 上每一条边权值和的和。N<=10000
水题。考试的时候毒瘤出题人（学长orz)把读入顺序改了一下，于是很多人爆零（包括我QAQ。
先dfs序把以$i$为根的子树大小$size[i]$和所含叶子结点个数$s[i]$求出。考虑每条边对答案的贡献。
1.子树里的叶子结点往外走，这一部分的贡献为$s[i]*(n-size[i])*dis$
2.子树外的叶子结点往里走，这一部分的贡献为$(sum-s[i])*size[i]*dis$，$sum$指叶子结点个数。
然后枚举边累加就好。
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; int n,ans,du[100005],size[100005],sum,root,ss[100005],tot; int head[200005],cnt; struct node { int next,to,dis; }edge[200005]; struct edge { int from,to,dis; }a[100005]; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } inline void add(int from,int to,int dis) { edge[++cnt].next=head[from]; edge[cnt].to=to; edge[cnt].dis=dis; head[from]=cnt; } inline void dfs(int now,int fa) { size[now]=1; if (du[now]==1) ss[now]=1; for (int i=head[now];i;i=edge[i].next) { int to=edge[i].to; if (to==fa) continue; a[++tot].from=now,a[tot].to=to,a[tot].dis=edge[i].dis; dfs(to,now); size[now]+=size[to]; ss[now]+=ss[to]; } } signed main() { n=read(); for (int i=1;i<n;i++) { int x=read(),y=read(),z=read(); add(y,z,x);add(z,y,x);du[z]++;du[y]++; } for (int i=1;i<=n;i++) { if (du[i]>1) root=i; else sum++; } dfs(root,0); for (int i=1;i<n;i++) ans+=ss[a[i].to]*(n-size[a[i].to])*a[i].dis+size[a[i].to]*(sum-ss[a[i].to])*a[i].dis; printf("%lld",ans); return 0; }
T2 map
题目大意：给定一张含有$n$个点的无向完全图，从$1$号点出发，每秒随机走一条边。$q$次询问，每次询问$t_i$秒时在点$1$的概率。
对于60%的数据，$n,q,t\leq 10^5$
对于100%的数据，$n,q,t\leq 10^{18}$
60分的很好想。设$f[i]$表示第$i$秒时在点$1$的概率，$g[i]$表示第$i$秒时不在点$1$的概率。易得到：
$f[i]=g[i-1]*\frac{1}{n-1}*(n-1)=g[i-1]$
$g[i]=f[i-1]*\frac{1}{n-1}+g[i-1]*\frac{n-2}{n-1}$
然后考试的时候就想到这里……60pts。正解只需要再往下推一步。
变换一下形式：$g[i]=g[i-2]*\frac{1}{n-1}+g[i-1]*\frac{n-2}{n-1}$
移项，得到：$g[i]-g[i-1]=-\frac{1}{n-1}*(g[i-1]-g[i-2])$
然后就是等比数列化简，得到通项公式：$g[i]=\frac{(n-1)^i-(-1)^i}{n*(n-1)^{i-1}},f[i]=\frac{(n-1)^{i-1}-(-1)^i}{n*(n-1)^{i-1}}$
最后快速幂求逆元就好。注意要$n$要模$mod$。时间复杂度$O(q\log n)$。
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define int unsigned long long using namespace std; const int mod=998244353; int n,t,q; inline int qpow(int x,int y) { int res=1;x%=mod; while(y>0){ if (y%2==1) res=res*x%mod;res%=mod; x=x*x%mod; y>>=1; } return res%mod; } signed main() { scanf("%lld%lld",&n,&q);n%=mod; while(q--) { scanf("%lld",&t); if (t==0){ printf("1\n"); continue; } int x=qpow(n-1,t-1)%mod; if (t&1) printf("%lld\n",((x-1)%mod*qpow(n*x,mod-2)%mod)%mod); else printf("%lld\n",((x+1)%mod*qpow(x*n,mod-2)%mod)%mod); } return 0; }
T3 【PA2011】Journeys
题目大意：点从$1-n$标号。给定$[l1,r1]$和$[l2,r2]$，表示$[l1,r1]$内的点与$[l2,r2]$内任意一点都有长度为$1$的边。求点$s$的单源最短路径。
线段树优化建图模板题。
建立一棵入树，一棵出树，对于每次连边建两个虚点，在其间连一条权为1的边；然后从出树连出来，连进去入树，边权均为0。注意边是双向的，因此需要做两遍。
最短路不需要 Dijkstra，只需要 01BFS。时间复杂度$O(n\log n)$。
关于各种图的优化技巧可以看大佬的博客orz
代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m,S,head[8000005],cnt,tot,dis[4000005],ls[4000005],rs[4000005]; struct edge { int next,to,dis; }edge[8000005]; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } void addedge(int from,int to,int dis) { edge[++cnt].next=head[from]; edge[cnt].to=to; edge[cnt].dis=dis; head[from]=cnt; } void Build(int &p,int &q,int l,int r) { if(l==r){ p=l,q=l; return ; } if(!p)p=++tot; if(!q)q=++tot; int mid=(l+r)/2; Build(ls[p],ls[q],l,mid),addedge(ls[p],p,0),addedge(q,ls[q],0); Build(rs[p],rs[q],mid+1,r),addedge(rs[p],p,0),addedge(q,rs[q],0); } void Add(int p,int l,int r,int x,int y,int z,int flag) { if(x<=l&&r<=y) { if(flag)addedge(z,p,0); else addedge(p,z,0); return ; } int mid=(l+r)/2; if(x<=mid)Add(ls[p],l,mid,x,y,z,flag); if(mid<y)Add(rs[p],mid+1,r,x,y,z,flag); } void Dijkstra() { memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); deque<int> q; dis[S]=0; q.push_back(S); while(!q.empty()) { int now=q.front(); q.pop_front(); for(int i=head[now]; i; i=edge[i].next) { int y=edge[i].to,v=edge[i].dis; if(dis[y]>dis[now]+v) { dis[y]=dis[now]+v; if(v)q.push_back(y); else q.push_front(y); } } } for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",dis[i]); } int main() { n=read(),m=read(),S=read(),tot=n; int root1=0,root2=0; Build(root1,root2,1,n); while(m--){ int x=read(),y=read(),z=read(),w=read(),a=++tot,b=++tot; addedge(a,b,1); Add(root1,1,n,x,y,a,0); Add(root2,1,n,z,w,b,1); a=++tot,b=++tot; addedge(a,b,1); Add(root1,1,n,z,w,a,0); Add(root2,1,n,x,y,b,1); } Dijkstra(); return 0; }
